Escreva as auto funções do átomo de hidrogênio associadas aos seguintes valores para os número quânticos
, l e m.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever as autofunções (ou funções de onda) do átomo de hidrogênio para os números quânticos $ n = 1 $, $ l = 0 $ e $ m = 0 $. Isso faz parte da matéria de Mecânica Quântica, onde estudamos como os elétrons se comportam ao redor do núcleo do átomo. Para resolver isso, vamos precisar entender os números quânticos e as funções de onda do átomo de hidrogênio, que são descritas usando coordenadas esféricas e envolvem funções radiais e harmônicas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada número quântico representa:
- Número quântico principal ($ n $): Indica o nível de energia do elétron.
- Número quântico azimutal ($ l $): Relaciona-se com o formato da órbita do elétron.
- Número quântico magnético ($ m $): Diz respeito à orientação da órbita no espaço.
No nosso caso, $ n = 1 $, $ l = 0 $ e $ m = 0 $. Isso corresponde ao estado fundamental do átomo de hidrogênio, onde o elétron está no nível de energia mais baixo possível.
Passo 3
A função de onda do átomo de hidrogênio pode ser escrita como o produto de uma parte radial ($ R_{nl}®
Y_{lm}(\theta, \phi) $):
Vamos encontrar cada uma dessas partes para os valores dados de $ n $, $ l $ e $ m $.
Passo 4
Primeiro, a parte radial para $ n = 1 $ e $ l = 0 $ é dada por:
Aqui, $ a_0 $ é o raio de Bohr, uma constante que representa o tamanho típico do átomo de hidrogênio.
Passo 5
Agora, a parte angular, as harmônicas esféricas $ Y_{lm}(\theta, \phi) $, para $ l = 0 $ e $ m = 0 $ é:
Essa função é constante e não depende dos ângulos $ \theta $ e $ \phi $, o que faz sentido para uma órbita esférica sem angularidade específica.
Passo 6
Multiplicando as duas partes, temos a função de onda completa para $ n = 1 $, $ l = 0 $ e $ m = 0 $:
Podemos simplificar multiplicando as constantes:
Resposta
A autofunção do átomo de hidrogênio para $ n = 1 $, $ l = 0 $ e $ m = 0 $ é: