Escreva as auto funções do átomo de hidrogênio associadas aos seguintes valores para os número quânticos n, l e m.
n=1, l=0 e m1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever as autofunções (ou funções de onda) do átomo de hidrogênio para os números quânticos $ n = 1 $, $ l = 0 $ e $ m = 0 $. Isso faz parte da matéria de Mecânica Quântica, onde estudamos como os elétrons se comportam ao redor do núcleo do átomo. Para resolver isso, vamos precisar entender os números quânticos e as funções de onda do átomo de hidrogênio, que são descritas usando coordenadas esféricas e envolvem funções radiais e harmônicas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada número quântico representa:
  • Número quântico principal ($ n $): Indica o nível de energia do elétron.
  • Número quântico azimutal ($ l $): Relaciona-se com o formato da órbita do elétron.
  • Número quântico magnético ($ m $): Diz respeito à orientação da órbita no espaço.
No nosso caso, $ n = 1 $, $ l = 0 $ e $ m = 0 $. Isso corresponde ao estado fundamental do átomo de hidrogênio, onde o elétron está no nível de energia mais baixo possível.

Passo 3

A função de onda do átomo de hidrogênio pode ser escrita como o produto de uma parte radial ($ R_{nl}® Rnl(r) Y_{lm}(\theta, \phi) $):
Ylm(theta, phi)
Vamos encontrar cada uma dessas partes para os valores dados de $ n $, $ l $ e $ m $.

Passo 4

Primeiro, a parte radial para $ n = 1 $ e $ l = 0 $ é dada por:
n = 1
Aqui, $ a_0 $ é o raio de Bohr, uma constante que representa o tamanho típico do átomo de hidrogênio.

Passo 5

Agora, a parte angular, as harmônicas esféricas $ Y_{lm}(\theta, \phi) $, para $ l = 0 $ e $ m = 0 $ é:
Ylm(theta, phi)
Essa função é constante e não depende dos ângulos $ \theta $ e $ \phi $, o que faz sentido para uma órbita esférica sem angularidade específica.

Passo 6

Multiplicando as duas partes, temos a função de onda completa para $ n = 1 $, $ l = 0 $ e $ m = 0 $:
n = 1
Podemos simplificar multiplicando as constantes:
l = 0

Resposta

A autofunção do átomo de hidrogênio para $ n = 1 $, $ l = 0 $ e $ m = 0 $ é:
n = 1

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