• 26 Uma corda na qual ondas podem se propagar tem 2,70 \mathrm{~m} de comprimento e 260 g de massa. A tração da corda é 36,0 \mathrm{~N}. Qual deve ser a frequência de ondas progressivas com uma amplitude de 7,70 \mathrm{~mm} para que a potência média seja 85,0 \mathrm{~W} ?

Passo 1

O enunciado dá uma corda de comprimento 2,70\\ \mathrm{m} e massa 260\\ \mathrm{g}, com tração 36,0\\ \mathrm{N}. Há ondas progressivas com amplitude 7,70\\ \mathrm{mm} e queremos que a potência média transportada por essas ondas seja 85,0\\ \mathrm{W}. A pergunta é: qual deve ser a frequência dessas ondas?
Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
L=2,70\\ \mathrm{m}
m=260\\ \mathrm{g}=0,260\\ \mathrm{kg}
T=36,0\\ \mathrm{N}
A=7,70\\ \mathrm{mm}=0,00770\\ \mathrm{m}
\langle P\rangle =85,0\\ \mathrm{W}
O que se pede:
  • Determinar a frequência \;f\; (em hertz) das ondas progressivas que produzam a potência média dada.

Passo 2

Primeiro, precisamos de uma fórmula que relacione potência média transportada por uma onda transversal numa corda com as grandezas conhecidas. Vou derivar a expressão de forma didática.
Considere uma onda transversal senoidal na corda dada por
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t).
Aqui:
  • A é a amplitude (em metros),
  • k é o número de onda (em \mathrm{rad/m}),
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}),
  • x e t posição e tempo.
A derivada espacial dá a inclinação da corda:
\frac{\partial y}{\partial x}=A k \cos(kx-\omega t).
A derivada temporal dá a velocidade vertical da corda:
\frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega \cos(kx-\omega t).
A potência instantânea transmitida por uma seção da corda é o produto da força transversal naquela seção pela velocidade transversal. A componente transversal da força é aproximadamente -T\,\partial y/\partial x (para pequenas inclinações) e a velocidade transversal é \partial y/\partial t. Logo a potência instantânea é
P_{\text{inst}}(x,t) = -T\frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{\partial y}{\partial t}.
Substituindo as derivadas:
P_{\text{inst}}(x,t) = -T\big(A k \cos(\cdot)\big)\big(-A\omega \cos(\cdot)\big) = T A^2 k\omega \cos^2(kx-\omega t).
A potência média no tempo ao longo de um período usa \langle \cos^2 \rangle = \tfrac{1}{2}. Assim:
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\,T\,A^2\,k\,\omega.
Esta é uma forma útil. Podemos também expressir em termos da densidade linear de massa \mu e da velocidade de propagação v. Sabendo que v=\omega/k (relação de onda) e que T=\mu v^2 (relação entre tração, densidade linear e velocidade), substituímos para obter outra forma:
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\,T\,A^2\,k\,\omega = \frac{1}{2}\,(\mu v^2)\,A^2\left(\frac{\omega}{v}\right)\omega = \frac{1}{2}\,\mu\,v\,A^2\,\omega^2.
Portanto a fórmula prática que usaremos é
\boxed{\langle P\rangle = \frac{1}{2}\,\mu\,v\,A^2\,\omega^2.}
Lembrando que \omega=2\pi f.

Passo 3

Agora calculemos a densidade linear de massa \mu da corda (massa por unidade de comprimento). A fórmula é
\mu=\frac{m}{L}.
Substituindo os números:
\mu=\frac{0,260\\ \mathrm{kg}}{2,70\\ \mathrm{m}}.
Faço a conta:
\mu \approx 0,09630\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 4

Precisamos também da velocidade de propagação v das ondas na corda. A velocidade em uma corda tensa é dada por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Substituindo T=36,0\\ \mathrm{N} e \mu\approx 0,09630\\ \mathrm{kg/m}:
v=\sqrt{\frac{36,0}{0,09630}}\\ \mathrm{m/s}.
Calculo:
\frac{36,0}{0,09630}\approx 373,85,
v\approx \sqrt{373,85}\approx 19,33\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Voltemos à fórmula da potência média
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\,\mu\,v\,A^2\,\omega^2.
Queremos encontrar a frequência f. Substituindo \omega=2\pi f obtemos
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\,\mu\,v\,A^2\,(2\pi f)^2 = 2\pi^2\,\mu\,v\,A^2\,f^2.
Isolando f^2:
f^2 = \frac{\langle P\rangle}{2\pi^2\,\mu\,v\,A^2}.
E portanto
f=\sqrt{\frac{\langle P\rangle}{2\pi^2\,\mu\,v\,A^2}}.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos. Já temos
\langle P\rangle =85,0\\ \mathrm{W},\quad \mu\approx 0,09630\\ \mathrm{kg/m},\quad v\approx 19,33\\ \mathrm{m/s},\quad A=0,00770\\ \mathrm{m}.
Calcule A^2:
A^2=(0,00770)^2=0,00005929\\ \mathrm{m}^2.
Calcule o denominador D=2\pi^2\,\mu\,v\,A^2:
2\pi^2\approx 19,7392,
\mu v A^2 \approx 0,09630\times 19,33\times 0,00005929 \approx 0,00011043,
D \approx 19,7392\times 0,00011043 \approx 0,0021789.

Passo 7

Agora f^2=\dfrac{85,0}{0,0021789}. Faço a divisão:
f^2 \approx 39020{,}6.
Tirando raiz quadrada:
f\approx \sqrt{39020{,}6}\approx 197{,}5\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando com sentido físico (duas ou três cifras significativas já bastam), podemos dar f\approx 198\\ \mathrm{Hz}.

Passo 8

Resumo e interpretação curta: para que a corda transporte, em média, 85{,}0\\ \mathrm{W} com amplitude 7{,}70\\ \mathrm{mm}, é necessário oscilar com frequência cerca de 198\\ \mathrm{Hz}. Se você reduzir a amplitude, a frequência precisa aumentar (porque potência média depende de A^2 f^2 — observe a dependência quadrática), e vice‑versa.

Resposta

f\approx 1,98\times 10^{2}\\ \mathrm{Hz}

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