- 26 Uma corda na qual ondas podem se propagar tem
de comprimento e 260 g de massa. A tração da corda é
. Qual deve ser a frequência de ondas progressivas com uma amplitude de
para que a potência média seja
?
Passo 1
O enunciado dá uma corda de comprimento
e massa
, com tração
. Há ondas progressivas com amplitude
e queremos que a potência média transportada por essas ondas seja
. A pergunta é: qual deve ser a frequência dessas ondas?
Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
O que se pede:
- Determinar a frequência
(em hertz) das ondas progressivas que produzam a potência média dada.
Passo 2
Primeiro, precisamos de uma fórmula que relacione potência média transportada por uma onda transversal numa corda com as grandezas conhecidas. Vou derivar a expressão de forma didática.
Considere uma onda transversal senoidal na corda dada por
Aqui:
-
é a amplitude (em metros), -
é o número de onda (em ), -
é a frequência angular (em ), -
e posição e tempo.
A derivada espacial dá a inclinação da corda:
A derivada temporal dá a velocidade vertical da corda:
A potência instantânea transmitida por uma seção da corda é o produto da força transversal naquela seção pela velocidade transversal. A componente transversal da força é aproximadamente
(para pequenas inclinações) e a velocidade transversal é
. Logo a potência instantânea é
Substituindo as derivadas:
A potência média no tempo ao longo de um período usa
. Assim:
Esta é uma forma útil. Podemos também expressir em termos da densidade linear de massa
e da velocidade de propagação
. Sabendo que
(relação de onda) e que
(relação entre tração, densidade linear e velocidade), substituímos para obter outra forma:
Portanto a fórmula prática que usaremos é
Lembrando que
.
Passo 3
Agora calculemos a densidade linear de massa
da corda (massa por unidade de comprimento). A fórmula é
Substituindo os números:
Faço a conta:
Passo 4
Precisamos também da velocidade de propagação
das ondas na corda. A velocidade em uma corda tensa é dada por
Substituindo
e
:
Calculo:
Passo 5
Voltemos à fórmula da potência média
Queremos encontrar a frequência
. Substituindo
obtemos
Isolando
:
E portanto
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos. Já temos
Calcule
:
Calcule o denominador
:
Passo 7
Agora
. Faço a divisão:
Tirando raiz quadrada:
Arredondando com sentido físico (duas ou três cifras significativas já bastam), podemos dar
.
Passo 8
Resumo e interpretação curta: para que a corda transporte, em média,
com amplitude
, é necessário oscilar com frequência cerca de
. Se você reduzir a amplitude, a frequência precisa aumentar (porque potência média depende de
— observe a dependência quadrática), e vice‑versa.