Passo 1
O enunciado dá a segunda derivada de
e condições iniciais. As informações são:
A tarefa implícita é encontrar a função
que satisfaz essa equação e essas condições.
Passo 2
Para obter
a partir de
precisamos integrar duas vezes. Cada integração introduz uma constante de integração. Vou chamar as constantes de
(após a primeira integração) e
(após a segunda).
Antes de integrar, lembro algumas fórmulas úteis de integração que vou usar (vou explicar de forma simples):
Aqui a variável
é a variável de integração e
é um número (por exemplo,
para
).
Essa fórmula vem do fato de que a derivada de
é
, então para “desfazer” a derivada multiplicamos por
. No nosso caso
, então
.
Note que a integral de
é
, porque derivando
volta
.
Com essas fórmulas vamos integrar termo a termo.
Passo 3
Integro
para obter
. Integro cada termo:
-
Expliquei: usei a regra do polinômio com . -
Usei a fórmula da exponencial de base . -
Somando e adicionando a constante
temos:
Agora uso a condição
. Substituo
:
Igualando a
:
Passo 4
Agora integro
para obter
. Integro termo a termo:
-
-
Aqui usei a fórmula da exponencial duas vezes: integrar dá , e havia um fator multiplicando. -
(Porque a derivada de é .) -
Somando e acrescentando a constante
obtemos:
Agora uso
. Substituo
:
Igualando a
:
Substituo
e
na expressão de
. Lembre:
.
Passo 5
Escrevo a expressão final de
substituindo as constantes:
Opcional — checagem rápida (útil na prova): derivando uma vez essa
volta a
, e derivando de novo obtemos
, que coincide com o enunciado. As condições em
também fecham (pode conferir substituindo
).