\begin{aligned} & f^{\prime \prime}(x)=24 x^{2}+2^{x}-\cos x \\ & \text { e } f^{\prime}(0)=5, f(0)=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a segunda derivada de f e condições iniciais. As informações são:
f''(x)=24x^{2}+2^{x}-\cos x,
f'(0)=5,
f(0)=0.
A tarefa implícita é encontrar a função f(x) que satisfaz essa equação e essas condições.

Passo 2

Para obter f a partir de f'' precisamos integrar duas vezes. Cada integração introduz uma constante de integração. Vou chamar as constantes de C_1 (após a primeira integração) e C_2 (após a segunda).
Antes de integrar, lembro algumas fórmulas úteis de integração que vou usar (vou explicar de forma simples):
\text{(a) Regra do polinômio: }\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\quad (n\neq -1).ô
Aqui a variável x é a variável de integração e n é um número (por exemplo, n=2 para x^2).
\text{(b) Exponencial de base \(a\): }\int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}\quad (a>0,\; a\neq 1).
Essa fórmula vem do fato de que a derivada de a^x é a^x\ln a, então para “desfazer” a derivada multiplicamos por 1/\ln a. No nosso caso a=2, então \int 2^{x}dx=\dfrac{2^{x}}{\ln 2}.
\text{\text{(c)} Funções trigonométricas: }\int \cos x\,dx=\sin x,\qquad \int \sin x\,dx=-\cos x.çõé
Note que a integral de -\cos x é -\sin x, porque derivando \sin x volta \cos x.
Com essas fórmulas vamos integrar termo a termo.

Passo 3

Integro f''(x) para obter f'(x). Integro cada termo:
  • \displaystyle \int 24x^{2}\,dx = 24\cdot\frac{x^{3}}{3}=8x^{3}. Expliquei: usei a regra do polinômio com n=2.
  • \displaystyle \int 2^{x}\,dx=\frac{2^{x}}{\ln 2}. Usei a fórmula da exponencial de base 2.
  • \displaystyle \int (-\cos x)\,dx = -\sin x.
Somando e adicionando a constante C_1 temos:
f'(x)=8x^{3}+\frac{2^{x}}{\ln 2}-\sin x + C_{1}.
Agora uso a condição f'(0)=5. Substituo x=0:
f'(0)=8\cdot 0^{3}+\frac{2^{0}}{\ln 2}-\sin 0 + C_{1}=\frac{1}{\ln 2}+0+C_{1}.
Igualando a 5:
\frac{1}{\ln 2}+C_{1}=5 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=5-\frac{1}{\ln 2}.

Passo 4

Agora integro f'(x) para obter f(x). Integro termo a termo:
  • \displaystyle \int 8x^{3}\,dx = 8\cdot\frac{x^{4}}{4}=2x^{4}.
  • \displaystyle \int \frac{2^{x}}{\ln 2}\,dx = \frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{2^{x}}{\ln 2}=\frac{2^{x}}{(\ln 2)^{2}}. Aqui usei a fórmula da exponencial duas vezes: integrar 2^{x} 2^{x}/\ln 2, e havia um fator 1/\ln2 multiplicando.
  • \displaystyle \int (-\sin x)\,dx = \cos x. (Porque a derivada de \cos x é -\sin x.)
  • \displaystyle \int C_{1}\,dx = C_{1}x.
Somando e acrescentando a constante C_{2} obtemos:
f(x)=2x^{4}+\frac{2^{x}}{(\ln 2)^{2}}+\cos x + C_{1}x + C_{2}.
Agora uso f(0)=0. Substituo x=0:
f(0)=2\cdot 0^{4}+\frac{2^{0}}{(\ln 2)^{2}}+\cos 0 + C_{1}\cdot 0 + C_{2}=\frac{1}{(\ln 2)^{2}}+1 + C_{2}.
Igualando a 0:
\frac{1}{(\ln 2)^{2}}+1 + C_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-1-\frac{1}{(\ln 2)^{2}}.
Substituo C_{1} e C_{2} na expressão de f(x). Lembre: C_{1}=5-\dfrac{1}{\ln 2}.

Passo 5

Escrevo a expressão final de f(x) substituindo as constantes:
f(x)=2x^{4}+\frac{2^{x}}{(\ln 2)^{2}}+\cos x +\left(5-\frac{1}{\ln 2}\right)x -1-\frac{1}{(\ln 2)^{2}}.
Opcional — checagem rápida (útil na prova): derivando uma vez essa f volta a f'(x)=8x^{3}+\dfrac{2^{x}}{\ln 2}-\sin x + 5-\dfrac{1}{\ln 2}, e derivando de novo obtemos f''(x)=24x^{2}+2^{x}-\cos x, que coincide com o enunciado. As condições em 0 também fecham (pode conferir substituindo x=0).

Resposta

f(x)=2x^{4}+\frac{2^{x}}{(\ln 2)^{2}}+\cos x +\left(5-\frac{1}{\ln 2}\right)x -1-\frac{1}{(\ln 2)^{2}}

Exercícios relacionados