Identifique a cônica de equação
, encontre seus vértices e esboce-a.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede três coisas: identificar a cônica, encontrar os seus vértices e esboçá-la.
Informações relevantes dadas: os coeficientes dos termos quadráticos e lineares em e
estão todos na própria equação acima; não há figura adicional.
Informações relevantes dadas: os coeficientes dos termos quadráticos e lineares em
Passo 2
Primeiro passo prático: reunir os termos em
e em
para completar quadrados. Escrevo a equação agrupando termos semelhantes:
A técnica de completar quadrado transforma expressões quadráticas em uma forma
, o que facilita reconhecer a forma padrão da cônica.
Passo 3
Faço o completamento de quadrado para os termos em
.
Expliquei:
, então para recuperar
subtraímos 4.
Passo 4
Agora trato os termos em
. Como há um fator
multiplicando
, eu fatoro primeiro:
Completo o quadrado dentro do parêntese:
portanto
Passo 5
Substituo os resultados de volta na equação original:
Simplifico as constantes
, obtendo
Isolo o termo constante:
Passo 6
Divido por
para obter a forma padrão conhecida das hipérboles:
Comparando com a forma padrão
, identifico:
Como o termo positivo é o de
, a hipérbole é horizontal (ramos à esquerda e à direita do centro).
Passo 7
Vértices: para a forma horizontal os vértices ficam em
. Logo:
Explicação rápida: os vértices são os pontos mais próximos ao centro sobre o eixo transverso (a distância é
).
Passo 8
Focos e constantes úteis (para esboçar mais precisamente): para hipérbole horizontal usa-se
. Logo
Focos em
:
Passo 9
Assíntotas: para a forma
as assíntotas são
Substituindo os parâmetros:
Essas retas passam pelo centro
com inclinações
e guiam o formato dos ramos da hipérbole.
Passo 10
Como esboçar (passo a passo prático, sem calculadora):
- Plote o centro
. - Marque os vértices
e ao longo do eixo horizontal. - Desenhe o retângulo auxiliar cujos cantos são
, ou seja os pontos . As diagonais desse retângulo são as assíntotas. - Desenhe as linhas das assíntotas
. - Trace dois ramos da hipérbole passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas quando
. Os ramos abrem para a esquerda e para a direita.
Resposta
Hipérbole horizontal com equação
, centro
.
Vértices: e
.
Assíntotas: .
Focos: .
Vértices:
Assíntotas:
Focos: