Identifique a cônica de equação x^{2}-4 y^{2}-4 x+8 y-16=0, encontre seus vértices e esboce-a.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}-4 y^{2}-4 x+8 y-16=0
e pede três coisas: identificar a cônica, encontrar os seus vértices e esboçá-la.
Informações relevantes dadas: os coeficientes dos termos quadráticos e lineares em x e y estão todos na própria equação acima; não há figura adicional.

Passo 2

Primeiro passo prático: reunir os termos em x e em y para completar quadrados. Escrevo a equação agrupando termos semelhantes:
x^{2}-4x \;-\;4y^{2}+8y \;-\;16=0.
A técnica de completar quadrado transforma expressões quadráticas em uma forma (\text{coisa})^{2} + \text{constante}, o que facilita reconhecer a forma padrão da cônica.

Passo 3

Faço o completamento de quadrado para os termos em x.
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4.
Expliquei: (x-2)^2 = x^2 -4x +4, então para recuperar x^2-4x subtraímos 4.

Passo 4

Agora trato os termos em y. Como há um fator -4 multiplicando y^{2}, eu fatoro primeiro:
-4y^{2}+8y = -4\bigl(y^{2}-2y\bigr).
Completo o quadrado dentro do parêntese:
y^{2}-2y = (y-1)^{2}-1,
portanto
-4\bigl(y^{2}-2y\bigr) = -4\bigl((y-1)^{2}-1\bigr) = -4(y-1)^{2}+4.

Passo 5

Substituo os resultados de volta na equação original:
\bigl((x-2)^{2}-4\bigr) \;+\; \bigl(-4(y-1)^{2}+4\bigr) \;-\;16 = 0.
Simplifico as constantes -4+4-16=-16, obtendo
(x-2)^{2}-4(y-1)^{2}-16=0.
Isolo o termo constante:
(x-2)^{2}-4(y-1)^{2}=16.

Passo 6

Divido por 16 para obter a forma padrão conhecida das hipérboles:
\frac{(x-2)^{2}}{16} \;-\; \frac{(y-1)^{2}}{4} \;=\; 1.
Comparando com a forma padrão \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1, identifico:
(h,k)=(2,1),\qquad a^{2}=16\\ (a=4),\qquad b^{2}=4\\ (b=2).
Como o termo positivo é o de (x-2)^2, a hipérbole é horizontal (ramos à esquerda e à direita do centro).

Passo 7

Vértices: para a forma horizontal os vértices ficam em (h\pm a,\,k). Logo:
\text{Vértices: }(2-4,\,1)=(-2,\,1)\quad\text{e}\quad(2+4,\,1)=(6,\,1).é
Explicação rápida: os vértices são os pontos mais próximos ao centro sobre o eixo transverso (a distância é a).

Passo 8

Focos e constantes úteis (para esboçar mais precisamente): para hipérbole horizontal usa-se c^{2}=a^{2}+b^{2}. Logo
c^{2}=16+4=20,\qquad c=2\sqrt{5}.
Focos em (h\pm c,\,k):
\text{Focos: }\bigl(2\pm 2\sqrt{5},\,1\bigr).

Passo 9

Assíntotas: para a forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 as assíntotas são
y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h).
Substituindo os parâmetros:
y-1=\pm\frac{2}{4}(x-2)=\pm\frac{1}{2}(x-2).
Essas retas passam pelo centro (2,1) com inclinações \pm \tfrac{1}{2} e guiam o formato dos ramos da hipérbole.

Passo 10

Como esboçar (passo a passo prático, sem calculadora):
  • Plote o centro (2,1).
  • Marque os vértices (-2,1) e (6,1) ao longo do eixo horizontal.
  • Desenhe o retângulo auxiliar cujos cantos são (2\pm a,\,1\pm b), ou seja os pontos (-2,3),(-2,-1),(6,3),(6,-1). As diagonais desse retângulo são as assíntotas.
  • Desenhe as linhas das assíntotas y-1=\pm\tfrac{1}{2}(x-2).
  • Trace dois ramos da hipérbole passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas quando x\to\pm\infty. Os ramos abrem para a esquerda e para a direita.

Resposta

Hipérbole horizontal com equação \dfrac{(x-2)^{2}}{16}-\dfrac{(y-1)^{2}}{4}=1, centro (2,1).
Vértices: (-2,1) e (6,1).
Assíntotas: y-1=\pm\tfrac{1}{2}(x-2).
Focos: \bigl(2\pm 2\sqrt{5},\,1\bigr).

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