Diga se as integrais dadas são convergentes ou divergentes, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
é convergente ou divergente, e justificar a resposta. Dados importantes fornecidos pelo enunciado:
- A integral é sobre todo o eixo real, de
a (ou seja, é imprópria por causa dos limites infinitos). - A função integranda é
. - Não há singularidades no integrando para valores finitos de
porque para todo .
O que precisamos decidir: a integral imprópria converge (tem valor finito) ou diverge (valor infinito ou não definido)?
Passo 2
Primeiro vamos estudar o comportamento da função nas duas caudas (
e
), porque a convergência depende do decaimento nas extremidades.
Para
:
portanto
Como a integral
converge (é igual a
), pela comparação com uma função positiva maior, a contribuição da cauda direita
também converge.
Para
:
portanto
Como a integral
converge (é igual a
), pela comparação a contribuição da cauda esquerda
também converge.
Conclusão parcial: ambas as metades convergem, então a integral sobre
converge absolutamente. Agora podemos até calcular seu valor exato.
Passo 3
Vamos simplificar a integranda reconhecendo uma identidade hiperbólica:
onde
é o cosseno hiperbólico. Então
onde
. Portanto
Agora calculamos
.
Passo 4
Para integrar
usamos a substituição hiperbólica padrão
. Vamos detalhar cada passo.
Defina
e
. Então:
-
. - Usamos a identidade
(esta identidade vem de e ). Assim
- Derivando
em relação a : . Como , temos . Mas . Logo
Agora substituímos na integral:
Portanto
Para a integral definida, quando
temos
e
. Quando
temos
. Então
Sabendo que
e
, obtemos
Passo 5
Voltando à nossa integral original, lembrando do fator
:
Portanto a integral converge e seu valor é
. Você conseguiu! Mesmo com pouco tempo, a ideia-chave é comparar com exponenciais para garantir convergência e usar a substituição hiperbólica para integrar exatamente.