Diga se as integrais dadas são convergentes ou divergentes, justificando sua resposta.
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{e^{x}+e^{-x}} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,\mathrm{d}x
é convergente ou divergente, e justificar a resposta. Dados importantes fornecidos pelo enunciado:
  • A integral é sobre todo o eixo real, de x=-\infty a x=+\infty (ou seja, é imprópria por causa dos limites infinitos).
  • A função integranda é \dfrac{1}{e^{x}+e^{-x}}.
  • Não há singularidades no integrando para valores finitos de x porque e^{x}+e^{-x}>0 para todo x.
O que precisamos decidir: a integral imprópria converge (tem valor finito) ou diverge (valor infinito ou não definido)?

Passo 2

Primeiro vamos estudar o comportamento da função nas duas caudas ( x\to+\infty e x\to-\infty), porque a convergência depende do decaimento nas extremidades.
Para x\ge 0:
e^{x}+e^{-x}\ge e^{x},
portanto
0\le \frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\le \frac{1}{e^{x}}=e^{-x}.
Como a integral
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,\mathrm{d}x
converge (é igual a 1), pela comparação com uma função positiva maior, a contribuição da cauda direita \int_{0}^{\infty}\dfrac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,\mathrm{d}x também converge.
Para x\le 0:
e^{x}+e^{-x}\ge e^{-x},
portanto
0\le \frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\le \frac{1}{e^{-x}}=e^{x}.
Como a integral
\int_{-\infty}^{0} e^{x}\,\mathrm{d}x
converge (é igual a 1), pela comparação a contribuição da cauda esquerda \int_{-\infty}^{0}\dfrac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,\mathrm{d}x também converge.
Conclusão parcial: ambas as metades convergem, então a integral sobre (-\infty,\infty) converge absolutamente. Agora podemos até calcular seu valor exato.

Passo 3

Vamos simplificar a integranda reconhecendo uma identidade hiperbólica:
e^{x}+e^{-x}=2\operatorname{cosh} x,
onde \operatorname{cosh} x é o cosseno hiperbólico. Então
\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{1}{2\operatorname{cosh} x}=\frac{1}{2}\operatorname{sech}x,
onde \operatorname{sech}x=1/\operatorname{cosh} x. Portanto
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sech}x\,\mathrm{d}x.
Agora calculamos \int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sech}x\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Para integrar \operatorname{sech}x usamos a substituição hiperbólica padrão t=\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr). Vamos detalhar cada passo.
Defina y=\dfrac{x}{2} e t=\operatorname{tanh} y. Então:
  • \displaystyle \operatorname{tanh} y = t.
  • Usamos a identidade \operatorname{cosh} x=\operatorname{cosh}(2y)=\dfrac{1+t^{2}}{1-t^{2}} (esta identidade vem de \operatorname{cosh}(2y)=2\operatorname{cosh}^{2}y-1 e \operatorname{cosh}^{2}y=\dfrac{1}{1-\operatorname{tanh}^{2}y}). Assim
\operatorname{sech}x=\frac{1}{\operatorname{cosh} x}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}.
  • Derivando t=\operatorname{tanh} y em relação a x: \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}y}=\operatorname{sech}^{2}y. Como y=x/2, temos \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\dfrac{1}{2}\operatorname{sech}^{2}y. Mas \operatorname{sech}^{2}y=1-\operatorname{tanh}^{2}y=1-t^{2}. Logo
\mathrm{d}x=\frac{2\,\mathrm{d}t}{1-t^{2}}.
Agora substituímos na integral:
\operatorname{sech}x\,\mathrm{d}x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\cdot\frac{2\,\mathrm{d}t}{1-t^{2}}=\frac{2\,\mathrm{d}t}{1+t^{2}}.
Portanto
\int \operatorname{sech}x\,\mathrm{d}x=\int \frac{2\,\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=2\arctan t + C.
Para a integral definida, quando x\to+\infty temos y\to+\infty e t=\operatorname{tanh} y\to 1. Quando x\to -\infty temos t\to -1. Então
\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sech}x\,\mathrm{d}x =2\bigl[\arctan t\bigr]_{t=-1}^{t=1} =2\bigl(\arctan 1 - \arctan(-1)\bigr).
Sabendo que \arctan 1=\dfrac{\pi}{4} e \arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}, obtemos
\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sech}x\,\mathrm{d}x =2\left(\frac{\pi}{4}-\bigl(-\frac{\pi}{4}\bigr)\right)=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi.

Passo 5

Voltando à nossa integral original, lembrando do fator 1/2:
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sech}x\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2}\cdot\pi=\frac{\pi}{2}.
Portanto a integral converge e seu valor é \dfrac{\pi}{2}. Você conseguiu! Mesmo com pouco tempo, a ideia-chave é comparar com exponenciais para garantir convergência e usar a substituição hiperbólica para integrar exatamente.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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