\begin{aligned}
& \int_{1}^{2} \frac{1+3 x^{2}}{x} d x \
& \int_{1}^{2} \frac{1+3 x^{2}}{x} d x \
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral definida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A função a integrar (o integrando) é
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o integrando usando divisão de termos por
. Isso é só álgebra: dividir cada termo do numerador por
.
Aqui a conta é:
fica
e
.
Passo 3
Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral. Portanto
A propriedade usada é: para funções
e constantes
,
Passo 4
Agora precisamos das primitivas (antiderivadas) de cada termo. Vou explicar cada uma:
- Para
: a primitiva é porque a derivada de é . Note que aparece valor absoluto em , mas como aqui varia de a (ou seja, ), podemos usar simplesmente nos limites. - Para
: aplicamos a regra da potência. A regra diz que para com ,
No nosso caso
, então
Passo 5
Juntando as primitivas, uma antiderivada (função primitiva) do integrando é
(Escolhemos
em vez de
porque
está no intervalo
com
.)
Passo 6
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
. Calculamos passo a passo:
pois
. Subtraindo,
Fazendo a subtração em frações:
Portanto o resultado é