\begin{aligned}
& \int_{1}^{2} \frac{1+3 x^{2}}{x} d x \

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{1+3x^{2}}{x}\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • Os limites de integração são x=1 (inferior) e x=2 (superior).
  • A função a integrar (o integrando) é \dfrac{1+3x^{2}}{x}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o integrando usando divisão de termos por x. Isso é só álgebra: dividir cada termo do numerador por x.
\frac{1+3x^{2}}{x}=\frac{1}{x}+\frac{3x^{2}}{x}=\frac{1}{x}+3x.
Aqui a conta é: \dfrac{1}{x} fica \dfrac{1}{x} e \dfrac{3x^{2}}{x}=3x^{2-1}=3x.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral. Portanto
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}+3x\right)\,dx=\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx+\int_{1}^{2}3x\,dx.
A propriedade usada é: para funções f,g e constantes a,b,
\int (a f + b g)\,dx = a\int f\,dx + b\int g\,dx.

Passo 4

Agora precisamos das primitivas (antiderivadas) de cada termo. Vou explicar cada uma:
  • Para \dfrac{1}{x}: a primitiva é \ln|x| porque a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x}. Note que aparece valor absoluto em \ln|x|, mas como aqui x varia de 1 a 2 (ou seja, x>0), podemos usar simplesmente \ln x nos limites.
  • Para 3x: aplicamos a regra da potência. A regra diz que para x^{n} com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
No nosso caso 3x=3x^{1}, então
\int 3x\,dx = 3\int x\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{3}{2}x^{2}.

Passo 5

Juntando as primitivas, uma antiderivada (função primitiva) do integrando é
F(x)=\ln x + \frac{3}{2}x^{2}.
(Escolhemos \ln x em vez de \ln|x| porque x está no intervalo [1,2] com x>0.)

Passo 6

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é F(2)-F(1). Calculamos passo a passo:
F(2)=\ln 2 + \frac{3}{2}\cdot 2^{2}=\ln 2 + \frac{3}{2}\cdot 4=\ln 2 + 6,
F(1)=\ln 1 + \frac{3}{2}\cdot 1^{2}=\;0 + \frac{3}{2}=\frac{3}{2},
pois \ln 1=0. Subtraindo,
F(2)-F(1)=\left(\ln 2 + 6\right)-\frac{3}{2}=\ln 2 + \left(6-\frac{3}{2}\right).
Fazendo a subtração em frações:
6-\frac{3}{2}=\frac{12}{2}-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}.
Portanto o resultado é
\ln 2 + \frac{9}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2}+\ln 2

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