& \int_{-1}^{1} e^{2 x} d x \
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: a função integranda é
e o intervalo de integração é de
até
. A pergunta é: qual é o valor numérico exato dessa integral definida?
Passo 2
Conceito importante: para calcular uma integral definida usamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele diz que, se
é uma primitiva da função
(isto é,
), então
Aqui
. Nosso trabalho será encontrar uma primitiva
de
e depois calcular
.
Passo 3
Como achar a primitiva de
. Observação: a derivada de
é
. Logo, a primitiva de
é
(mais uma constante). Aplicando isso com
, uma primitiva de
é
Verificação rápida (para ficar seguro): derivando
temos
ou seja, deu certo.
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
Simplificando os expoentes:
Passo 5
Podemos escrever o resultado de forma compacta usando a função hiperbólica seno hiperbólico:
. Assim, com
,
Ambas as formas são equivalentes e exatas.