& \int_{-1}^{1} e^{2 x} d x \

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} e^{2x}\,dx.
Informações dadas: a função integranda é \,e^{2x}\, e o intervalo de integração é de x=-1 até x=1. A pergunta é: qual é o valor numérico exato dessa integral definida?

Passo 2

Conceito importante: para calcular uma integral definida usamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele diz que, se F é uma primitiva da função f (isto é, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui f(x)=e^{2x}. Nosso trabalho será encontrar uma primitiva F(x) de e^{2x} e depois calcular F(1)-F(-1).

Passo 3

Como achar a primitiva de e^{2x}. Observação: a derivada de e^{kx} é k e^{kx}. Logo, a primitiva de e^{kx} é \dfrac{1}{k}e^{kx} (mais uma constante). Aplicando isso com k=2, uma primitiva de e^{2x} é
F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}.
Verificação rápida (para ficar seguro): derivando F temos
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2 e^{2x}=e^{2x},
ou seja, deu certo.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-1}^{1} e^{2x}\,dx = F(1)-F(-1) = \frac{1}{2}e^{2\cdot 1} - \frac{1}{2}e^{2\cdot(-1)}.
Simplificando os expoentes:
\int_{-1}^{1} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2} - \frac{1}{2}e^{-2}.

Passo 5

Podemos escrever o resultado de forma compacta usando a função hiperbólica seno hiperbólico: \operatorname{sinh}(t)=\dfrac{e^{t}-e^{-t}}{2}. Assim, com t=2,
\frac{1}{2}e^{2}-\frac{1}{2}e^{-2}=\operatorname{sinh}(2).
Ambas as formas são equivalentes e exatas.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\bigl(e^{2}-e^{-2}\bigr)

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