Calcular \iint_{R} \frac{x^{2}}{y^{2}} d x d y, em que R é a região delimitada por y=x, y=\frac{1}{x} e x=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R}\frac{x^{2}}{y^{2}}\,dx\,dy
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x, y=\tfrac{1}{x} e a reta vertical x=2. Vamos usar o Teorema de Fubini para transformar em integral iterada, definindo os limites de x e y.

Passo 2

Primeiro encontramos a interseção de y=x com y=\tfrac{1}{x}. Igualando
x = \frac{1}{x}
vem x^{2}=1, e no primeiro quadrante x=1. Logo o ponto comum é (1,1). Em x=2 as curvas dão y=2 e y=\tfrac12. Para cada x entre 1 e 2, a curva inferior é y=\tfrac{1}{x} e a superior é y=x.

Passo 3

Escrevemos a integral iterada em ordem dy\,dx:
\iint_{R}\frac{x^{2}}{y^{2}}\,dx\,dy =\int_{x=1}^{2}\Bigl(\int_{y=1/x}^{\,y=x}\frac{x^{2}}{y^{2}}\,dy\Bigr)dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna em y:
\int_{y=1/x}^{y=x}\frac{x^{2}}{y^{2}}\,dy = x^{2}\int_{1/x}^{x}y^{-2}\,dy = x^{2}\Bigl[-y^{-1}\Bigr]_{1/x}^{x} = x^{2}\Bigl(-\tfrac1{x} -\bigl(-x\bigr)\Bigr) = x^{2}\bigl(-x^{-1}+x\bigr) = x^{3}-x.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{1}^{2}(x^{3}-x)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{4}}{4}-\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{2} =\Bigl(\tfrac{16}{4}-\tfrac{4}{2}\Bigr)-\Bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}\Bigr) =(4-2)-\bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}\bigr) =2-(-\tfrac{1}{4}) =\tfrac{9}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{4}

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