\begin{tabular}{|l|l|}
\hline 22) & Calcule \iint_{R} y(2 x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, onde R é o paralelogramo de vértices (0,0). (3,1),(2,3) e (-1,2). \

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} y(2x+y)\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y,
onde R é o paralelogramo cujos vértices são (0,0), (3,1), (2,3) e (-1,2).
Informações relevantes dadas:
  • Os vértices são A=(0,0), B=(3,1), C=(2,3) e D=(-1,2).
  • A região R é um paralelogramo com um vértice na origem A=(0,0).
  • A função a integrar é f(x,y)=y(2x+y).

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): é mais simples parametrizar o paralelogramo por uma transformação linear a partir do quadrado unidade [0,1]\times[0,1]. Como um vértice é a origem, podemos escrever qualquer ponto do paralelogramo como
(x,y)=A + u\mathbf{v}_1 + v\mathbf{v}_2,
com 0\le u\le1, 0\le v\le1, onde \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 são vetores ao longo de dois lados que partem de A. Depois aplicamos a fórmula de mudança de variável para integrais duplas, usando o jacobiano da transformação.

Passo 3

Escolher os vetores geradores do paralelogramo a partir de A=(0,0):
  • \mathbf{v}_1 = \overrightarrow{AB} = (3,1) (porque B-A=(3,1)).
  • \mathbf{v}_2 = \overrightarrow{AD} = (-1,2) (porque D-A=(-1,2)).
Assim definimos a transformação linear \Phi\colon (u,v)\mapsto(x,y) por
(x,y)=\Phi(u,v)=u(3,1)+v(-1,2).
Escrevendo as componentes:
x=3u - v,\qquad y = u + 2v,
com (u,v)\in[0,1]\times[0,1]. Essa parametrização cobre exatamente o paralelogramo R.

Passo 4

Calcular o jacobiano da transformação. Para uma transformação linear (x,y) = M\,(u,v) com
M=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix},
o determinante de M é o jacobiano (constante aqui):
\det M = 3\cdot 2 - (-1)\cdot 1 = 6 + 1 = 7.
Significado: |\det M|=7 é o fator de escala de área que transforma \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v em \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. Assim
\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = |\det M|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v = 7\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.]

Passo 5

Substituir a função integranda usando x=3u-v e y=u+2v. Primeiro calcular 2x+y:
2x+y = 2(3u-v) + (u+2v) = 6u - 2v + u + 2v = 7u.
Observação legal: os termos em v cancelam-se, deixando 2x+y=7u. Agora a integranda
y(2x+y) = y\cdot(7u) = 7u\,y = 7u\,(u+2v) = 7\bigl(u^2 + 2uv\bigr).

Passo 6

Montar a integral em coordenadas (u,v) sobre o quadrado unidade. Multiplicando pela jacobiana 7,
\iint_{R} y(2x+y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \bigl[7\bigl(u^2+2uv\bigr)\bigr]\cdot 7\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v = 49\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \bigl(u^2+2uv\bigr)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.

Passo 7

Calcular a integral interna em u:
\int_{0}^{1}\bigl(u^2+2uv\bigr)\,\mathrm{d}u = \int_{0}^{1} u^2\,\mathrm{d}u + 2v\int_{0}^{1} u\,\mathrm{d}u = \left[\dfrac{u^3}{3}\right]_{0}^{1} + 2v\left[\dfrac{u^2}{2}\right]_{0}^{1}.
Isso dá
\int_{0}^{1}\bigl(u^2+2uv\bigr)\,\mathrm{d}u = \dfrac{1}{3} + 2v\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} + v.

Passo 8

Agora integrar em v no intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1}\left(\dfrac{1}{3}+v\right)\mathrm{d}v = \dfrac{1}{3}\int_{0}^{1} \mathrm{d}v + \int_{0}^{1} v\,\mathrm{d}v = \dfrac{1}{3}\cdot 1 + \left[\dfrac{v^2}{2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}.

Passo 9

Multiplicar pelo fator 49 que estava fora das integrais:
49\cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{245}{6}.

Resposta

\dfrac{245}{6}

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