\begin{tabular}{|l|l|}
\hline 22) & Calcule \iint_{R} y(2 x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, onde R é o paralelogramo de vértices (0,0). (3,1),(2,3) e (-1,2). \
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} y(2x+y)\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y,
onde R é o paralelogramo cujos vértices são (0,0), (3,1), (2,3) e (-1,2).
Informações relevantes dadas:
Os vértices são A=(0,0), B=(3,1), C=(2,3) e D=(-1,2).
A região R é um paralelogramo com um vértice na origem A=(0,0).
A função a integrar é f(x,y)=y(2x+y).
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): é mais simples parametrizar o paralelogramo por uma transformação linear a partir do quadrado unidade [0,1]\times[0,1]. Como um vértice é a origem, podemos escrever qualquer ponto do paralelogramo como
(x,y)=A + u\mathbf{v}_1 + v\mathbf{v}_2,
com 0\le u\le1, 0\le v\le1, onde \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 são vetores ao longo de dois lados que partem de A. Depois aplicamos a fórmula de mudança de variável para integrais duplas, usando o jacobiano da transformação.
Passo 3
Escolher os vetores geradores do paralelogramo a partir de A=(0,0):