\hline 21) & Calcule \iint_{R}\left(x^{4}-y^{4}\right) e^{x y} \mathrm{~d} A, onde R é a região do primeiro quadrante do plano x O y delimitado pelas hipérboles x y=1, x y=3, x^{2}-y^{2}=3 e x^{2}-y^{2}=4. \

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(x^{4}-y^{4}\right)e^{xy}\, \mathrm{d}A,
onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas
xy=1,\quad xy=3,\quad x^{2}-y^{2}=3,\quad x^{2}-y^{2}=4.
Informações relevantes dadas:
  • A região R está no primeiro quadrante, ou seja x\ge 0 e y\ge 0.
  • As curvas xy= constante e x^{2}-y^{2}= constante delimitam R; portanto os valores de xy variam entre 1 e 3 e os de x^{2}-y^{2} variam entre 3 e 4.
  • A função a integrar é (x^{4}-y^{4})e^{xy}.

Passo 2

Escolher uma mudança de variável conveniente. As curvas que delimitam R são exatamente de forma xy= constante e x^{2}-y^{2}= constante, então é natural definir as novas variáveis
u=xy,\qquad v=x^{2}-y^{2}.
Vantagens dessa escolha:
  • As fronteiras ficam em retas u= constante e v= constante, transformando R num retângulo no plano (u,v).
  • A expressão x^{4}-y^{4} pode ser escrita em termos de v e x^{2}+y^{2}, permitindo cancelamentos com o Jacobiano (vai ficar mais simples).

Passo 3

Calcular o Jacobiano da transformação (x,y)\mapsto(u,v).
As derivadas parciais são
u_x = y,\quad u_y = x,\quad v_x = 2x,\quad v_y = -2y.
O determinante do Jacobiano é
J=\det\begin{pmatrix}u_x & u_y\\[4pt] v_x & v_y\end{pmatrix} = y(-2y)-x(2x)=-2(y^2+x^2)=-2(x^2+y^2).
Tomando o valor absoluto (pois usaremos a relação de mudança de variáveis em áreas),
|J|=2(x^2+y^2).
A relação diferencial é
\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v = |J|\,\mathrm{d}A = 2(x^2+y^2)\,\mathrm{d}A,
portanto
\mathrm{d}A = \frac{1}{2(x^2+y^2)}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.]

Passo 4

Reescrever a integranda em termos de u e v.
Primeiro note que
x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})=v\,(x^{2}+y^{2}).
Também e^{xy}=e^{u}. Multiplicando pela diferencial \mathrm{d}A obtém-se
(x^{4}-y^{4})e^{xy}\,\mathrm{d}A = v\,(x^{2}+y^{2})\,e^{u}\cdot\frac{1}{2(x^2+y^2)}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.
Aqui há um cancelamento ótimo de x^{2}+y^{2}, sobrando
(x^{4}-y^{4})e^{xy}\,\mathrm{d}A = \frac{1}{2}\,v\,e^{u}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.
Portanto a integral em (x,y) transforma-se numa integral simples em (u,v).

Passo 5

Descrever a região transformada. Pelas curvas fornecidas (pegadas do enunciado):
  • u=xy varia entre 1 e 3.
  • v=x^{2}-y^{2} varia entre 3 e 4.
    Como estamos no primeiro quadrante, a transformação é bijetiva nessa faixa e a região R vira o retângulo \{(u,v)\mid 1\le u\le 3,\\\ 3\le v\le 4\}.

Passo 6

Montar e calcular a integral no novo sistema:
\iint_{R}(x^{4}-y^{4})e^{xy}\,\mathrm{d}A = \int_{v=3}^{4}\int_{u=1}^{3} \frac{1}{2}\,v\,e^{u}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.
Calcule a integral interna em u:
\int_{u=1}^{3} e^{u}\,\mathrm{d}u = e^{3}-e^{1}=e^{3}-e.
Logo
\iint_{R}\cdots = \frac{1}{2}\,(e^{3}-e)\int_{v=3}^{4} v\,\mathrm{d}v.
Calcule a integral em v:
\int_{v=3}^{4} v\,\mathrm{d}v = \left.\frac{v^{2}}{2}\right|_{3}^{4}=\frac{16-9}{2}=\frac{7}{2}.
Multiplicando,
\iint_{R}\cdots = \frac{1}{2}\,(e^{3}-e)\cdot\frac{7}{2}=\frac{7}{4}\,(e^{3}-e).

Resposta

\dfrac{7}{4}\bigl(e^{3}-e\bigr)

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