\hline 21) & Calcule
, onde
é a região do primeiro quadrante do plano
delimitado pelas hipérboles
e
. \
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas
Informações relevantes dadas:
- A região
está no primeiro quadrante, ou seja e . - As curvas
constante e constante delimitam ; portanto os valores de variam entre e e os de variam entre e . - A função a integrar é
.
Passo 2
Escolher uma mudança de variável conveniente. As curvas que delimitam
são exatamente de forma
constante e
constante, então é natural definir as novas variáveis
Vantagens dessa escolha:
- As fronteiras ficam em retas
constante e constante, transformando num retângulo no plano . - A expressão
pode ser escrita em termos de e , permitindo cancelamentos com o Jacobiano (vai ficar mais simples).
Passo 3
Calcular o Jacobiano da transformação
.
As derivadas parciais são
As derivadas parciais são
O determinante do Jacobiano é
Tomando o valor absoluto (pois usaremos a relação de mudança de variáveis em áreas),
A relação diferencial é
portanto
Passo 4
Reescrever a integranda em termos de
e
.
Primeiro note que
Primeiro note que
Também
. Multiplicando pela diferencial
obtém-se
Aqui há um cancelamento ótimo de
, sobrando
Portanto a integral em
transforma-se numa integral simples em
.
Passo 5
Descrever a região transformada. Pelas curvas fornecidas (pegadas do enunciado):
-
varia entre e . -
varia entre e .
Como estamos no primeiro quadrante, a transformação é bijetiva nessa faixa e a regiãovira o retângulo .
Passo 6
Montar e calcular a integral no novo sistema:
Calcule a integral interna em
:
Logo
Calcule a integral em
:
Multiplicando,