Calcule \iint_{R} e^{\frac{x-y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y onde R é a região triangular delimitada por x=0, y=0 e x+y=1.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral dupla
\iint_{R} e^{\frac{x-y}{x+y}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y,
onde R é o triângulo limitado por x=0, y=0 e x+y=1. Informações importantes fornecidas:
  • As arestas do triângulo são as retas x=0, y=0 e x+y=1.
  • Os vértices de R são (0,0), (1,0) e (0,1).
  • A função a integrar depende de x e y apenas através da razão \dfrac{x-y}{x+y}.

Passo 2

Ideia para resolver: como a integranda depende de \dfrac{x-y}{x+y} e a condição x+y=1 aparece na fronteira, é natural usar a mudança de variáveis que isola essa razão. Definimos as novas variáveis
u=\frac{x-y}{x+y},\qquad v=x+y.
Explicação curta do porquê: essa escolha transforma a parte imprópria da função (a fração) numa função simples de u só, e transforma a fronteira x+y=1 numa linha v=1, o que simplifica muito a região de integração.

Passo 3

Resolver o sistema para x\) e \(y\) em função de \(u\) e \(v\): \[\begin{cases} x-y=uv,\\[4pt] x+y=v. \end{cases}
Somando as duas equações obtemos 2x = v(1+u)\], logo \[x=\frac{v(1+u)}{2}.\] Subtraindo \(x-y=uv de x+y=v (ou resolvendo para y) obtemos 2y=v(1-u), logo
y=\frac{v(1-u)}{2}.
Agora deduzimos os limites para u e v a partir das condições x\ge0, y\ge0 e x+y\le1:
  • x\ge0 1+u\ge0\Rightarrow u\ge-1.
  • y\ge0 1-u\ge0\Rightarrow u\le1.
  • v=x+y varia de 0 até 1 no triângulo, portanto 0\le v\le1.
    Conclusão: o domínio em (u,v) é o retângulo \{(u,v)\mid -1\le u\le 1,\;0\le v\le1\}.]

Passo 4

Calcular o jacobiano \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}. Derivadas parciais:
x_u=\frac{v}{2},\quad x_v=\frac{1+u}{2},\quad y_u=-\frac{v}{2},\quad y_v=\frac{1-u}{2}.
O determinante é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = x_u y_v - x_v y_u = \frac{v}{2}\cdot\frac{1-u}{2} - \frac{1+u}{2}\cdot\left(-\frac{v}{2}\right).
Somando os termos:
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{v}{4}(1-u) + \frac{v}{4}(1+u) = \frac{v}{4}\cdot 2 = \frac{v}{2}.
Como v\ge0 no domínio, o valor absoluto do jacobiano é \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\dfrac{v}{2}.

Passo 5

Fazer a mudança de variáveis na integral. A integranda e^{\frac{x-y}{x+y}} passa a ser e^{u}. O elemento de área transforma como \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \dfrac{v}{2}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v. Assim a integral fica
\iint_{R} e^{\frac{x-y}{x+y}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{v=0}^{1}\int_{u=-1}^{1} e^{u}\,\frac{v}{2}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.
Podemos separar as integrais porque o integrando é produto de função de u por função de v:
\int_{v=0}^{1}\int_{u=-1}^{1} e^{u}\,\frac{v}{2}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v = \frac{1}{2}\left(\int_{u=-1}^{1} e^{u}\,\mathrm{d}u\right)\left(\int_{v=0}^{1} v\,\mathrm{d}v\right).

Passo 6

Calcular as integrais simples:
\int_{u=-1}^{1} e^{u}\,\mathrm{d}u = e^{1}-e^{-1}=e-e^{-1},
e
\int_{v=0}^{1} v\,\mathrm{d}v = \left.\frac{v^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
Multiplicando tudo:
\frac{1}{2}\cdot (e-e^{-1})\cdot\frac{1}{2}=\frac{e-e^{-1}}{4}.

Resposta

\dfrac{e-e^{-1}}{4}

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