\hline 20) & Calcule
, onde
é a região do plano delimitada pela elipse
. \
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região do plano delimitada pela elipse dada por
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A elipse tem equação
. - A integral a calcular é sobre a região interna a essa elipse, ou seja, sobre o conjunto de pontos
tais que a equação da elipse é satisfeita na forma de desigualdade apropriada. - O integrando é
.
O que se pede: o valor numérico da integral dupla sobre a região
.
Passo 2
Vamos colocar a equação da elipse em forma padrão dividindo ambos os lados por
. Assim obtemos
Logo a região
é
Observe algo muito útil: o integrando é exatamente a expressão que aparece na equação da elipse, isto é,
Isso sugere uma mudança de escala que transforme a elipse numa circunferência (disco) unitária, para simplificar a integral.
Passo 3
Definimos a mudança de variáveis por escalamento linear que “normaliza” a elipse:
Invertendo:
Verificação da imagem da região: substituindo na desigualdade da elipse,
portanto a região
em
corresponde ao disco unitário
no plano
. Além disso o integrando fica simples:
Passo 4
Calculemos o Jacobiano da transformação
. A matriz jacobiana é
O determinante (o módulo do jacobiano) é
Regra da mudança de variáveis para integrais duplas diz que
Passo 5
Substituindo tudo na integral original obtemos a integral equivalente sobre o disco unitário
:
Agora é natural passar para coordenadas polares em
:
com
e
. Em polares tem-se
e
.
Passo 6
Escrevendo a integral em coordenadas polares:
Calcule a integral em
:
Multiplicando por
e integrando em
:
Passo 7
Resultado final encontrado: a integral vale
. Boa! A ideia principal foi notar que a expressão do integrando coincide com a forma padrão da elipse, fazer uma escala que transforme a elipse em disco unitário (isso simplifica a região e o integrando) e então usar coordenadas polares no disco.