\hline 20) & Calcule \iint_{R}\left(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, onde R é a região do plano delimitada pela elipse 4 x^{2}+9 y^{2}=36. \

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}\right)\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y,
onde R é a região do plano delimitada pela elipse dada por
4x^{2}+9y^{2}=36.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A elipse tem equação 4x^{2}+9y^{2}=36.
  • A integral a calcular é sobre a região interna a essa elipse, ou seja, sobre o conjunto de pontos (x,y) tais que a equação da elipse é satisfeita na forma de desigualdade apropriada.
  • O integrando é \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}.
O que se pede: o valor numérico da integral dupla sobre a região R.

Passo 2

Vamos colocar a equação da elipse em forma padrão dividindo ambos os lados por 36. Assim obtemos
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1.
Logo a região R é
R=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}\le 1\right\}.
Observe algo muito útil: o integrando é exatamente a expressão que aparece na equação da elipse, isto é,
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}.
Isso sugere uma mudança de escala que transforme a elipse numa circunferência (disco) unitária, para simplificar a integral.

Passo 3

Definimos a mudança de variáveis por escalamento linear que “normaliza” a elipse:
u=\frac{x}{3},\qquad v=\frac{y}{2}.
Invertendo:
x=3u,\qquad y=2v.
Verificação da imagem da região: substituindo na desigualdade da elipse,
\frac{(3u)^{2}}{9}+\frac{(2v)^{2}}{4}=u^{2}+v^{2}\le 1,
portanto a região R em (x,y) corresponde ao disco unitário
S=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}
no plano (u,v). Além disso o integrando fica simples:
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=u^{2}+v^{2}.

Passo 4

Calculemos o Jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y). A matriz jacobiana é
\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0\\[4pt] 0 & 2 \end{pmatrix}.
O determinante (o módulo do jacobiano) é
J=\det\begin{pmatrix}3&0\\\ 0&2\end{pmatrix}=3\cdot 2=6.
Regra da mudança de variáveis para integrais duplas diz que
\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = |J|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v = 6\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.]

Passo 5

Substituindo tudo na integral original obtemos a integral equivalente sobre o disco unitário S:
\iint_{R}\left(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}\right)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \iint_{S} (u^{2}+v^{2})\cdot 6\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v = 6\iint_{S} (u^{2}+v^{2})\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.
Agora é natural passar para coordenadas polares em (u,v):
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,
com 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi. Em polares tem-se u^{2}+v^{2}=r^{2} e \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 6

Escrevendo a integral em coordenadas polares:
6\iint_{S} (u^{2}+v^{2})\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v = 6\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = 6\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{1} r^{3}\,\mathrm{d}r = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
Multiplicando por 6 e integrando em \theta:
6\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}\,\mathrm{d}\theta = \frac{6}{4}\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta = \frac{3}{2}\cdot (2\pi)=3\pi.

Passo 7

Resultado final encontrado: a integral vale 3\pi. Boa! A ideia principal foi notar que a expressão do integrando coincide com a forma padrão da elipse, fazer uma escala que transforme a elipse em disco unitário (isso simplifica a região e o integrando) e então usar coordenadas polares no disco.

Resposta

\,3\pi

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