Below is a table of values for a continuous function f.
x -5 1 3 8 14 f(x) 7 40 21 75 -100
On the interval -5 \leq x \leq 1, must there be a value of x for which f(x)=30 ? Explain.
\begin{aligned} & \text { 1) - } f(x) \text { is continuous । } \\ & \text { 2) - } f(-5)=7 \text {, } f(1)=40 \mathrm{~V} \\ & \text { 3) } 30 \text { is between } 7 \text { and } 40 \mathrm{~J} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá uma função contínua f definida em [-5,1] e fornece os valores tabelados f(-5)=7 e f(1)=40. Pede-se verificar se existe algum x\in[-5,1] tal que f(x)=30. O conteúdo usado será o Teorema do Valor Intermediário (TVI).

Passo 2

Anotamos os extremos do intervalo:
f(-5)=7, \quad f(1)=40.

Passo 3

Observamos que o valor 30 satisfaz
7 < 30 < 40,
ou seja, 30 está estritamente entre f(-5) e f(1).

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se f é contínua em [a,b] e N é um valor entre f(a) e f(b), então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=N. Aqui a=-5, b=1 e N=30.

Resposta

Sim. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe x\in(-5,1) tal que f(x)=30.

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