Below is a table of values for a continuous function f.
x 0 2 4 7 10 f(x) -100 -1 -3 2 -5
On the interval 0 \leq x \leq 10 what is the minimum number of zeros?
For 2 \leq x \leq 7, what is the fewest possible times f(x)=1 ?

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua f com valores
\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & 2 & 4 & 7 & 10 \\\ \hline f(x) & -100 & -1 & -3 & 2 & -5 \end{array}
e pede, em primeiro lugar, o número mínimo de raízes f(x)=0 em [0,10]. Em seguida, pede o menor número de soluções de f(x)=1 em [2,7]. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI).

Passo 2

Para achar o mínimo de zeros, examinamos cada subintervalo em que f muda de sinal em relação a zero:
  • Em [0,2]: f(0)=-100 e f(2)=-1 são ambos negativos → sem troca de sinal → nenhuma raiz obrigatória.
  • Em [2,4]: f(2)=-1 e f(4)=-3 são ambos negativos → nenhuma raiz.
  • Em [4,7]: f(4)=-3<0 e f(7)=2>0 → troca de sinal negativo→positivo → pelo menos uma raiz.
  • Em [7,10]: f(7)=2>0 e f(10)=-5<0 → troca de sinal positivo→negativo → pelo menos uma raiz.

Passo 3

Somando as trocas de sinal obtidas em cada subintervalo, concluímos que há pelo menos duas soluções de f(x)=0 em [0,10].

Passo 4

Para o número mínimo de vezes que f(x)=1 em [2,7], consideramos a função
g(x)=f(x)-1.
Calculamos
g(2)=f(2)-1=-1-1=-2,\quad g(4)=-3-1=-4,\quad g(7)=2-1=1.
Em [2,4] g permanece negativo, sem troca de sinal. Em [4,7] passa de g(4)=-4 para g(7)=1, há uma única troca de sinal → pelo menos uma solução de g(x)=0, ou seja, f(x)=1.

Resposta

O mínimo de zeros de f em [0,10] é 2.
O menor número de soluções de f(x)=1 em [2,7] é 1.

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