Let f be a continuous function such that f(1)=7 and f(7)=1. Let g be the function given by g(x)= f(x)-x. Explain why there must be a value c for 1<c<7 such that g\text{(c)}=0.
\begin{aligned} & f(1)=7 \quad f(7)=1 \quad g(x)=f(x)-x \\\ & g\text{(c)}=f\text{(c)}-1=0 \rightarrow f\text{(c)}=1 \end{aligned}
  1. the function is continiour I
  2. f(1)=7, f(7)=1 \sqrt{ }
  3. 1 化田or [1,7]
  • IVT Aplies for f(x)

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua f em [1,7] com f(1)=7 e f(7)=1, e define g(x)=f(x)-x. Queremos mostrar que existe c\in(1,7) tal que g\text{(c)}=0. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) aplicado à função g.

Passo 2

Calculamos
g(1)=f(1)-1=7-1=6>0.

Passo 3

Calculamos
g(7)=f(7)-7=1-7=-6<0.

Passo 4

Como f é contínua em [1,7] e a função identidade x\mapsto x também é contínua, a diferença
g(x)=f(x)-x
é contínua em [1,7]. Logo, g satisfaz as hipóteses do TVI.

Passo 5

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como g(1)>0 e g(7)<0, existe algum c\in(1,7) tal que
g\text{(c)}=0.

Resposta

Existe c\in(1,7) com g\text{(c)}=0, ou seja, f\text{(c)}=c.

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