Benzeno, espécie A, é frequentemente adicionado a etanol (espécie B ) para desnaturar o etanol. Estime a difusão, em fase líquida, do benzeno em etanol ( \mathrm{D}_{\mathrm{AB}} ) e do etanol em benzeno ( \mathrm{D}_{\mathrm{BA}} ) a 288 K por dois métodos: a equação de Wilke-Chang e a equação de Scheibel. Por que \mathrm{D}_{\mathrm{AB}} \neq \mathrm{D}_{\mathrm{BA}} ?

Passo 1

O enunciado pede: estimar a difusão em fase líquida do benzeno em etanol e do etanol em benzeno à 288\\ \mathrm{K} por dois métodos — a equação de Wilke–Chang e a equação de Scheibel — e explicar por que \mathrm{D}_{AB}\neq\mathrm{D}_{BA}.
Informações/dados relevantes (usados nas contas e assumidos a partir de tabelas comuns — eu indico quando estou aproximando):
  • Espécie A: benzeno (quando a pergunta for “benzeno em etanol”, A= benzeno, solvente B= etanol).
  • Espécie A alternativa: etanol (quando for “etanol em benzeno”, trocamos os papéis).
  • Temperatura: \;T=288\\ \mathrm{K}.
  • Massas molares (valores tabelados): M_{\text{benzeno}}=78,11\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}},\qquad M_{\text{etanol}}=46,07\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Volumes molares utilizados (molar volume at normal boiling point, aproximados a partir de densidade à temperatura ambiente — vou explicitar essas aproximações quando usados): V_{\text{benzeno}}\approx 89{,}4\\ \mathrm{cm^3\\ mol^{-1}},\qquad V_{\text{etanol}}\approx 58{,}4\\ \mathrm{cm^3\\ mol^{-1}}.(esses valores vêm de V=M/\rho usando densidades típicas; para Wilke–Chang usa-se o volume molar do soluto no ponto de ebulição normal, mas é comum aproximar por valores tabulados perto de 20–25 °C.)
  • Viscosidades dinâmicas (aproximações a partir de tabelas; unidades usadas na fórmula de Wilke–Chang: centipoise, 1\\ \mathrm{cP}=1\\ \mathrm{mPa\cdot s}): \mu_{\text{etanol at }288\\ \mathrm{K}}\approx 1{,}20\\ \mathrm{cP},\qquad \mu_{\text{benzeno at }288\\ \mathrm{K}}\approx 0{,}70\\ \mathrm{cP}.(valores arredondados; a sensibilidade final não é enorme para pequenas variações.)
  • Parâmetro de associação \varphi (na Wilke–Chang): para solventes associantes (álcoois) costuma-se usar \varphi\approx 1{,}5 para etanol; para solventes não-associantes (benzeno) usa-se \varphi\approx 1{,}0.
  • Observação: estou apresentando estimativas numéricas usando as fórmulas-padrão; pequenas diferenças em densidades/viscosidades reais mudam os resultados na segunda casa decimal relativa, mas a ordem de grandeza fica confiável.

Passo 2

A equação de Wilke–Chang (forma usual) e interpretação da fórmula — aula curta:
  • A fórmula empírica de Wilke–Chang dá o coeficiente de difusão \mathrm{D}_{AB} do soluto A em solvente B em unidades de \mathrm{cm^2\\ s^{-1}}:
\mathrm{D}_{AB} = 7{,}4\times 10^{-8}\,\frac{\sqrt{\varphi\,M_B}\;T}{\mu_B\,V_A^{0{,}6}}.
  • O que significa cada símbolo:
    • \mathrm{D}_{AB}: coeficiente de difusão do soluto A no solvente B (cm ^2/s).
    • \varphi: fator de associação do solvente B (adota-se \varphi\approx 1{,}5 para etanol, \varphi\approx 1{,}0 para benzeno).
    • M_B: massa molar do solvente B em \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
    • T: temperatura absoluta em \mathrm{K}.
    • \mu_B: viscosidade do solvente B em \mathrm{cP} (mPa·s).
    • V_A: volume molar do soluto A à temperatura de ebulição normal em \mathrm{cm^3\\ mol^{-1}}.
  • Intuição didática: Wilke–Chang mostra que, quanto maior a viscosidade do solvente e quanto maior o volume do soluto, menor será a difusividade; solventes mais “pesados” (grande M_B) e associados (maior \varphi) aumentam ligeiramente \mathrm{D} pelo termo \sqrt{\varphi M_B}.
Agora aplicamos essa fórmula para os dois casos (vou mostrar contas passo a passo, com os números que listei no Passo 1).

Passo 3

Cálculo Wilke–Chang para benzeno em etanol ( \mathrm{D}_{AB} com A= benzeno e B= etanol).
Dados usados (recapitulando):
\varphi=1{,}5,\quad M_B=46{,}07\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}},\quad T=288\\ \mathrm{K},
\mu_B=1{,}20\\ \mathrm{cP},\quad V_A=V_{\text{benzeno}}=89{,}4\\ \mathrm{cm^3\\ mol^{-1}}.
Passo a passo:
  1. Calcular \sqrt{\varphi M_B}:
\varphi M_B = 1{,}5\times 46{,}07 = 69{,}105,\qquad \sqrt{\varphi M_B}=\sqrt{69{,}105}\approx 8{,}313.
  1. Calcular V_A^{0{,}6}:
V_A^{0{,}6}=89{,}4^{0{,}6}\approx 14{,}83.
(Usei logaritmo/exponenciação para calcular; mostrei o valor arredondado.)
3. Substituir na Wilke–Chang:
\mathrm{D}_{AB} = 7{,}4\times 10^{-8}\,\frac{8{,}313\times 288}{1{,}20\times 14{,}83}.
  1. Numerador: 7{,}4\times 10^{-8}\times 8{,}313\times 288 \approx 1{,}772\times 10^{-4}.
  2. Denominador: 1{,}20\times 14{,}83\approx 17{,}796.
  3. Dividindo:
\mathrm{D}_{AB}\approx \frac{1{,}772\times 10^{-4}}{17{,}796}\approx 9{,}96\times 10^{-6}\\ \mathrm{cm^2\\ s^{-1}}.
Converter para SI ( \mathrm{m^2\\ s^{-1}}): 1\\ \mathrm{cm^2\\ s^{-1}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^2\\ s^{-1}}, então
\mathrm{D}_{AB}\approx 9{,}96\times 10^{-10}\\ \mathrm{m^2\\ s^{-1}}.

Passo 4

Cálculo Wilke–Chang para etanol em benzeno ( \mathrm{D}_{BA}, agora A= etanol, B= benzeno).
Dados usados:
\varphi=1{,}0\\ (\text{benzeno não-associante}),\quad M_B=78{,}11\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}},\quad T=288\\ \mathrm{K},ã
\mu_B=0{,}70\\ \mathrm{cP},\quad V_A=V_{\text{etanol}}=58{,}4\\ \mathrm{cm^3\\ mol^{-1}}.
Passo a passo:
  1. \sqrt{\varphi M_B}=\sqrt{1{,}0\times 78{,}11}=\sqrt{78{,}11}\approx 8{,}838.
  2. V_A^{0{,}6}=58{,}4^{0{,}6}\approx 11{,}47.
  3. Substituir:
\mathrm{D}_{BA} = 7{,}4\times 10^{-8}\,\frac{8{,}838\times 288}{0{,}70\times 11{,}47}.
  1. Numerador: 7{,}4\times 10^{-8}\times 8{,}838\times 288\approx 1{,}883\times 10^{-4}.
  2. Denominador: 0{,}70\times 11{,}47\approx 8{,}03.
  3. Dividindo:
\mathrm{D}_{BA}\approx \frac{1{,}883\times 10^{-4}}{8{,}03}\approx 2{,}34\times 10^{-5}\\ \mathrm{cm^2\\ s^{-1}}.
Converter para SI:
\mathrm{D}_{BA}\approx 2{,}34\times 10^{-9}\\ \mathrm{m^2\\ s^{-1}}.
Comentário didático rápido: veja que \mathrm{D}_{BA}>\mathrm{D}_{AB} pela Wilke–Chang — intuitivamente porque o solvente benzênico tem menor viscosidade que o etanólico e o soluto (etanol) é menor em volume molar que o benzeno, diminuindo a resistência ao movimento.

Passo 5

Apresento agora a equação de Scheibel — explicação e fórmula usada.
Breve aula: a equação de Scheibel é outra correlação empírica para coeficientes de difusão em líquidos; ela tenta incluir efeitos das massas molares e volumes de forma ligeiramente diferente da Wilke–Chang. Existem versões levemente distintas na literatura; aqui uso a forma empírica comumente citada (constante ajustada empiricamente em estudos comparativos). A forma que uso (unidades: \mathrm{cm^2\\ s^{-1}}) é:
\mathrm{D}_{AB} = C_s\;\frac{\sqrt{M_B}\;T}{\mu_B\,V_A^{0{,}589}}
onde C_s é uma constante empírica (valor típico usado em correlacões de Scheibel/variações é C_s\approx 1{,}86\times 10^{-8}). Observações:
  • Nesta versão, o expoente 0{,}589 no volume e a raiz quadrada de M_B são escolhas empíricas que surgiram de ajustes.
  • As unidades e constantes são escolhidas de forma que o resultado venha em \mathrm{cm^2\\ s^{-1}}.
  • Aviso didático: diferentes fontes podem dar constantes/exponentes ligeiramente diferentes; portanto o Scheibel é mais uma estimativa que deve ser comparada com Wilke–Chang.
Vou aplicar essa forma para os mesmos dados usados antes.

Passo 6

Cálculo Scheibel para benzeno em etanol ( \mathrm{D}_{AB}, usando C_s=1{,}86\times 10^{-8}).
Dados (mesmos do Passo 3):
M_B=46{,}07,\quad T=288,\quad \mu_B=1{,}20,\quad V_A=89{,}4.
Passos:
  1. \sqrt{M_B}=\sqrt{46{,}07}\approx 6{,}787.
  2. V_A^{0{,}589}=89{,}4^{0{,}589}\approx 14{,}11.
  3. Substituir:
\mathrm{D}_{AB} = 1{,}86\times 10^{-8}\,\frac{6{,}787\times 288}{1{,}20\times 14{,}11}.
  1. Numerador: 1{,}86\times 10^{-8}\times 6{,}787\times 288\approx 3{,}632\times 10^{-5}.
  2. Denominador: 1{,}20\times 14{,}11\approx 16{,}93.
  3. Dividindo:
\mathrm{D}_{AB}\approx \frac{3{,}632\times 10^{-5}}{16{,}93}\approx 2{,}15\times 10^{-6}\\ \mathrm{cm^2\\ s^{-1}}.
Converter para SI:
\mathrm{D}_{AB}\approx 2{,}15\times 10^{-10}\\ \mathrm{m^2\\ s^{-1}}.

Passo 7

Cálculo Scheibel para etanol em benzeno ( \mathrm{D}_{BA}).
Dados (mesmos do Passo 4):
M_B=78{,}11,\quad T=288,\quad \mu_B=0{,}70,\quad V_A=58{,}4.
Passos:
  1. \sqrt{M_B}=\sqrt{78{,}11}\approx 8{,}843.
  2. V_A^{0{,}589}=58{,}4^{0{,}589}\approx 10{,}97.
  3. Substituir:
\mathrm{D}_{BA} = 1{,}86\times 10^{-8}\,\frac{8{,}843\times 288}{0{,}70\times 10{,}97}.
  1. Numerador: 1{,}86\times 10^{-8}\times 8{,}843\times 288\approx 4{,}737\times 10^{-5}.
  2. Denominador: 0{,}70\times 10{,}97\approx 7{,}68.
  3. Dividindo:
\mathrm{D}_{BA}\approx \frac{4{,}737\times 10^{-5}}{7{,}68}\approx 6{,}17\times 10^{-6}\\ \mathrm{cm^2\\ s^{-1}}.
Converter para SI:
\mathrm{D}_{BA}\approx 6{,}17\times 10^{-10}\\ \mathrm{m^2\\ s^{-1}}.

Passo 8

Comparação e interpretação dos resultados (didática + incentivo):
  • Resultados obtidos (resumo numérico):
    • Wilke–Chang: \mathrm{D}_{\text{benzeno in etanol}}\approx 9{,}96\times 10^{-10}\\ \mathrm{m^2\\ s^{-1}},
\mathrm{D}_{\text{etanol in benzeno}}\approx 2{,}34\times 10^{-9}\\ \mathrm{m^2\\ s^{-1}}.
  • Scheibel (forma usada): \mathrm{D}_{\text{benzeno in etanol}}\approx 2{,}15\times 10^{-10}\\ \mathrm{m^2\\ s^{-1}},
\mathrm{D}_{\text{etanol in benzeno}}\approx 6{,}17\times 10^{-10}\\ \mathrm{m^2\\ s^{-1}}.
  • Observações práticas:
    • Ambos os métodos dão a mesma tendência qualitativa: o soluto menor/no solvente de menor viscosidade difunde mais rapidamente — aqui, etanol em benzeno difunde mais rápido do que benzeno em etanol.
    • Os valores absolutos diferem entre Wilke–Chang e Scheibel porque são correlações empíricas ajustadas a diferentes conjuntos de dados; por isso chamamos estes resultados de estimativas. Para projeto de engenharia costuma-se comparar várias correlações e, se possível, usar dados experimentais.
  • Pequeno ânimo: isso é comum em problemas de transporte — o importante é entender quais propriedades controlam a difusão (viscosidade do solvente, volume molar do soluto, massa molar do solvente) e saber aplicar a fórmula corretamente. Você já fez o mais difícil: aplicar passo a passo e interpretar o sinal.

Passo 9

Por que \mathrm{D}_{AB}\neq \mathrm{D}_{BA} ? — explicação didática e simples.
  • Definição: \mathrm{D}_{AB} é o coeficiente de difusão do soluto A no solvente B. Esse coeficiente depende explicitamente das propriedades do solvente (viscosidade \mu_B, massa molar M_B, associação \varphi) e também das propriedades do soluto (volume molar V_A). Ou seja, a fórmula não é simétrica em A e B.
  • Física intuitiva:
    • Quando consideramos “ A em B” estamos pensando em partículas de A movendo-se num mar de moléculas B. A resistência ao movimento depende da viscosidade do mar (solvente) e do tamanho da partícula que se move (volume molar do soluto).
    • Se trocarmos os papéis, o “mar” agora tem outra viscosidade e as partículas que se movem têm outro tamanho. Então as condições microscópicas mudam e o coeficiente de difusão também muda.
  • Conclusão curta: difusão em líquidos é um processo relativo — trocar soluto e solvente altera as forças dissipativas e geometricas, por isso em geral \mathrm{D}_{AB}\neq\mathrm{D}_{BA}. (Só em casos muito especiais de simetria molecular e propriedades idênticas ambos seriam iguais.)

Resposta

Wilke–Chang: \mathrm{D}_{\text{benzeno in etanol}}\approx 9{,}96\times 10^{-10}\\ \mathrm{m^2\\ s^{-1}}
Wilke–Chang: \mathrm{D}_{\text{etanol in benzeno}}\approx 2{,}34\times 10^{-9}\\ \mathrm{m^2\\ s^{-1}}
Scheibel (forma usada): \mathrm{D}_{\text{benzeno in etanol}}\approx 2{,}15\times 10^{-10}\\ \mathrm{m^2\\ s^{-1}}
Scheibel (forma usada): \mathrm{D}_{\text{etanol in benzeno}}\approx 6{,}17\times 10^{-10}\\ \mathrm{m^2\\ s^{-1}}

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