A taxa de difusão da enzima ribonuclease para um material poroso de suporte de cromatografia foi medida a 298 K . Um coeficiente de difusão efetivo de 5 \times 10^{-7} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} foi obtido a partir de um experimento baseado na difusão da enzima através de um único poro cilíndrico. Estime o diâmetro do poro (dporo) necessário para atingir esse coeficiente de difusão efetivo. O coeficiente de difusão molecular da ribonuclease em água é 1,19 \times 10^{-6} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} a 298 K e o diâmetro dessa molécula é 3,6 \mathrm{~nm}.

Passo 1

O enunciado pede: estimar o diâmetro do poro d_{\text{poro}} necessário para que a ribonuclease tenha um coeficiente de difusão efetivo igual ao valor medido no experimento. Informações dadas:
  • Coeficiente de difusão efetivo medido: D_{\text{eff}} = 5\times10^{-7}\\ \mathrm{cm^{2}/s}.
  • Coeficiente de difusão molecular em água: D_{m} = 1,19\times10^{-6}\\ \mathrm{cm^{2}/s}.
  • Diâmetro da molécula (ribonuclease): d_{\text{mol}} = 3,6\\ \mathrm{nm}. Logo o raio da molécula é a = \dfrac{d_{\text{mol}}}{2} = 1,8\\ \mathrm{nm}.
  • Temperatura 298\\ \mathrm{K} (informação de contexto, não necessária diretamente para as contas que vamos usar).
O que precisamos encontrar: d_{\text{poro}} (em nm, e posso também dar em cm para comparação).

Passo 2

Como resolver (resumido, sem ainda calcular): a difusão dentro de um poro cilindrico é reduzida em relação à difusão livre por efeito de confinamento. Para quantificar isso usamos uma correção empírica/teórica para difusão dificultada em poros cilíndricos (fator de impedimento). Vou usar a conhecida fórmula de Renkin para difusão impedida em um poro cilíndrico, que dá a razão \dfrac{D_{\text{eff}}}{D_m} em função da razão entre o raio da partícula e o raio do poro. Essa é a maneira padrão e prática para estimar o diâmetro do poro a partir do coeficiente efetivo.

Passo 3

Apresento a fórmula (Renkin) e explico as variáveis:
\frac{D_{\text{eff}}}{D_m} = (1-\lambda)^2\Big(1 - 2{,}1044\,\lambda + 2{,}0888\,\lambda^3 - 0{,}948\,\lambda^5\Big)
onde
  • \lambda = \dfrac{a}{R_p} é a razão entre o raio da molécula a e o raio do poro R_p.
  • a é o raio da molécula (aqui a=1{,}8\\ \mathrm{nm}).
  • R_p é o raio do poro (portanto d_{\text{poro}} = 2R_p).
  • A função do lado direito é a expressão de Renkin que dá o fator de redução da difusão por confinamento em um poro cilíndrico. Ela varia de 1 (quando \lambda\to0, partícula muito pequena comparada ao poro) até 0 quando \lambda\to1 (partícula do tamanho do poro, bloqueio total).
No exame: você identifica D_{\text{eff}} e D_m, calcula a razão D_{\text{eff}}/D_m, e resolve numericamente a equação acima para \lambda. Em muitas provas basta fazer um método simples de tentativa (tabela / bisseção) até achar \lambda com precisão razoável.

Passo 4

Calculo a razão observada:
k \equiv \frac{D_{\text{eff}}}{D_m} = \frac{5\times10^{-7}}{1{,}19\times10^{-6}} \approx 0{,}42017.
Então devemos achar \lambda tal que a função de Renkin valha 0{,}42017.

Passo 5

Relacionamento entre \lambda e o diâmetro do poro:
\lambda=\frac{a}{R_p}=\frac{2a}{d_{\text{poro}}}.
Depois de encontrar \lambda resolvendo a Renkin, obtemos
R_p=\frac{a}{\lambda},\qquad d_{\text{poro}}=2R_p=\frac{2a}{\lambda}.
Aqui a=1{,}8\\ \mathrm{nm}, então d_{\text{poro}} = \dfrac{3{,}6\\ \mathrm{nm}}{\lambda}.

Passo 6

Resolução numérica (método por tentativas / bisseção, mostro alguns pontos para você ver o raciocínio na prova):
Avalio a função de Renkin f(\lambda) em alguns valores:
Para \lambda=0{,}20:
(1-\lambda)^2=(0{,}8)^2=0{,}64,
f(0{,}20)=0{,}64\Big(1-2{,}1044(0{,}20)+2{,}0888(0{,}20)^3-0{,}948(0{,}20)^5\Big)\approx 0{,}38114.
Isso é menor que 0{,}42017, logo \lambda<0{,}20.
Para \lambda=0{,}18:
(1-\lambda)^2=(0{,}82)^2=0{,}6724,
f(0{,}18)\approx 0{,}42563,
que é um pouco maior que 0{,}42017. Então \lambda está entre 0{,}18 e 0{,}20.
Testando \lambda=0{,}183:
f(0{,}183)\approx 0{,}41920,
ligeiramente abaixo de 0{,}42017.
Testando \lambda=0{,}182:
f(0{,}182)\approx 0{,}42158,
ligeiramente acima de 0{,}42017.
Interpolando entre 0{,}182 e 0{,}183 (ou fazendo uma iteração rápida) obtemos
\lambda \approx 0{,}1826.

Passo 7

Com \lambda\approx 0{,}1826 calculo o raio e o diâmetro do poro:
R_p=\frac{a}{\lambda}=\frac{1{,}8\\ \mathrm{nm}}{0{,}1826}\approx 9{,}86\\ \mathrm{nm},
d_{\text{poro}}=2R_p\approx 19{,}73\\ \mathrm{nm}.
Convertendo para centímetros (se quiser comparar com as unidades dos coeficientes de difusão):
d_{\text{poro}}\approx 19{,}73\\ \mathrm{nm}=19{,}73\times10^{-7}\\ \mathrm{cm}\approx 1{,}97\times10^{-6}\\ \mathrm{cm}.

Resposta

d_{\text{poro}}\approx 19{,}7\\ \mathrm{nm}\\ \left(\approx 1{,}97\times10^{-6}\\ \mathrm{cm}\right)

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