A taxa de difusão da enzima ribonuclease para um material poroso de suporte de cromatografia foi medida a 298 K . Um coeficiente de difusão efetivo de
foi obtido a partir de um experimento baseado na difusão da enzima através de um único poro cilíndrico. Estime o diâmetro do poro (dporo) necessário para atingir esse coeficiente de difusão efetivo. O coeficiente de difusão molecular da ribonuclease em água é
a 298 K e o diâmetro dessa molécula é
.
Passo 1
O enunciado pede: estimar o diâmetro do poro
necessário para que a ribonuclease tenha um coeficiente de difusão efetivo igual ao valor medido no experimento. Informações dadas:
- Coeficiente de difusão efetivo medido:
. - Coeficiente de difusão molecular em água:
. - Diâmetro da molécula (ribonuclease):
. Logo o raio da molécula é . - Temperatura
(informação de contexto, não necessária diretamente para as contas que vamos usar).
O que precisamos encontrar:
(em nm, e posso também dar em cm para comparação).
Passo 2
Como resolver (resumido, sem ainda calcular): a difusão dentro de um poro cilindrico é reduzida em relação à difusão livre por efeito de confinamento. Para quantificar isso usamos uma correção empírica/teórica para difusão dificultada em poros cilíndricos (fator de impedimento). Vou usar a conhecida fórmula de Renkin para difusão impedida em um poro cilíndrico, que dá a razão
em função da razão entre o raio da partícula e o raio do poro. Essa é a maneira padrão e prática para estimar o diâmetro do poro a partir do coeficiente efetivo.
Passo 3
Apresento a fórmula (Renkin) e explico as variáveis:
onde
-
é a razão entre o raio da molécula e o raio do poro . -
é o raio da molécula (aqui ). -
é o raio do poro (portanto ). - A função do lado direito é a expressão de Renkin que dá o fator de redução da difusão por confinamento em um poro cilíndrico. Ela varia de 1 (quando
, partícula muito pequena comparada ao poro) até 0 quando (partícula do tamanho do poro, bloqueio total).
No exame: você identifica
e
, calcula a razão
, e resolve numericamente a equação acima para
. Em muitas provas basta fazer um método simples de tentativa (tabela / bisseção) até achar
com precisão razoável.
Passo 4
Calculo a razão observada:
Então devemos achar
tal que a função de Renkin valha
.
Passo 5
Relacionamento entre
e o diâmetro do poro:
Depois de encontrar
resolvendo a Renkin, obtemos
Aqui
, então
.
Passo 6
Resolução numérica (método por tentativas / bisseção, mostro alguns pontos para você ver o raciocínio na prova):
Avalio a função de Renkin
em alguns valores:
Para
:
Isso é menor que
, logo
.
Para
:
que é um pouco maior que
. Então
está entre
e
.
Testando
:
ligeiramente abaixo de
.
Testando
:
ligeiramente acima de
.
Interpolando entre
e
(ou fazendo uma iteração rápida) obtemos
Passo 7
Com
calculo o raio e o diâmetro do poro:
Convertendo para centímetros (se quiser comparar com as unidades dos coeficientes de difusão):