Benzeno é obtido a partir de uma coluna de fracionamento na condição de vapor saturado a 80^{\circ} \mathrm{C}. Determine AS ÁREAS de troca de calor necessárias para condensar e sub-resfriar cerca de 3630 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de benzeno até 46^{\circ} \mathrm{C} se o fluido refrigerante for água, escoando com vazão mássica igual a \mathbf{1 8 1 4 0 ~ k g} / \mathbf{h}, disponível a \mathbf{1 3}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}. Compare os resultados supondo escoamento em correntes opostas e correntes paralelas. Um coeficiente global de troca de calor de \mathbf{1 1 3 5} \mathbf{W} / \mathbf{m}^{2} \mathbf{K} pode ser
considerado nos dois casos.
Dados:
Entalpia de vaporização do benzeno: 394,5 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg};
Calor específico do benzeno: 1758,5 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}
Calor específico da água: 4186,9 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}
Atm=kgf/cm²

Passo 1

O enunciado pede que eu determine as áreas de troca de calor necessárias para condensar e, em seguida, sub-resfriar cerca de 3630\\ \mathrm{kg/h} de benzeno que chega em vapor saturado a 80^\circ\mathrm{C} até a temperatura final de 46^\circ\mathrm{C}, usando água como fluido refrigerante com vazão mássica 18140\\ \mathrm{kg/h} e temperatura de entrada 13^\circ\mathrm{C}. Deve-se comparar dois arranjos: correntes opostas (counterflow) e correntes paralelas (parallel flow). Pode-se usar um coeficiente global de transferência de calor U=1135\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
Informações numéricas dadas (vou reescrever para usar diretamente nas contas):
\dot m_{\text{benzeno}}=3630\\ \mathrm{kg/h},\qquad \dot m_{\text{água}}=18140\\ \mathrm{kg/h},á
\Delta H_{\text{vap}}=394{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}=394500\\ \mathrm{J/kg},
c_{p,\text{benzeno}}=1758{,}5\\ \mathrm{J/(kg\,K)},\qquad c_{p,\text{água}}=4186{,}9\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.á
Perguntas explícitas: (1) calcular a potência térmica total a ser removida do benzeno (condensação + sub-resfriamento), (2) calcular a temperatura de saída da água decorrente dessa carga, (3) calcular a diferença logarítmica média de temperatura (LMTD) e a área A do trocador para os casos correntes opostas e correntes paralelas, usando U dado, e (4) comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro passo técnico: converter vazões mássicas para unidades do SI (kg/s), pois potências estarão em W (J/s). Faço as divisões por 3600 (segundos por hora).
\dot m_{\text{benzeno}}=\frac{3630}{3600}=1{,}008333\\ \mathrm{kg/s},
\dot m_{\text{água}}=\frac{18140}{3600}=5{,}038889\\ \mathrm{kg/s}.á
Explicação didática: trabalhar em \mathrm{kg/s} deixa coerente com J/s para potência térmica. Sempre que vir \mathrm{kg/h} no enunciado, passo para \mathrm{kg/s} dividindo por 3600.

Passo 3

Calcular a carga térmica total \dot Q que precisa ser retirada do benzeno. Existem duas partes:
  1. condensação (troca de fase) a 80^\circ\mathrm{C}, com energia por massa \Delta H_{\text{vap}}, e
  2. resfriamento do líquido condensado de 80^\circ\mathrm{C} para 46^\circ\mathrm{C} (sub-resfriamento) com capacidade calorífica c_{p,\text{benzeno}}.
A expressão:
\dot Q = \dot m_{\text{benzeno}}\left(\Delta H_{\text{vap}} + c_{p,\text{benzeno}}\,(T_{\text{cond}}-T_{\text{final}})\right).
Substituindo números:
T_{\text{cond}}=80^\circ\mathrm{C},\quad T_{\text{final}}=46^\circ\mathrm{C},\quad T_{\text{cond}}-T_{\text{final}}=34\\ \mathrm{K}.
\dot Q = 1{,}008333\left(394500 + 1758{,}5\cdot 34\right)\\ \mathrm{W}.
Calculo interno:
1758{,}5\cdot 34 = 59789\\ \mathrm{J/kg},
394500 + 59789 = 454289\\ \mathrm{J/kg},
\dot Q = 1{,}008333\cdot 454289 = 458074{,}74\\ \mathrm{W}.
Interpretação: precisamos remover aproximadamente 458{,}1\\ \mathrm{kW} do benzeno.

Passo 4

Determinar a elevação de temperatura da água refrigerante resultante dessa carga (balanço de energia sobre a água):
\dot Q = \dot m_{\text{água}}\, c_{p,\text{água}}\,(T_{\text{água,out}}-T_{\text{água,in}}).áááá
Isolando T_{\text{água,out}}á:
T_{\text{água,out}} = T_{\text{água,in}} + \frac{\dot Q}{\dot m_{\text{água}}\,c_{p,\text{água}}}.áááá
Substituindo:
\dot m_{\text{água}}\,c_{p,\text{água}}=5{,}038889\cdot 4186{,}9 = 21097{,}324\\ \mathrm{W/K}.áá
\Delta T_{\text{água}}=\frac{458074{,}74}{21097{,}324}=21{,}7239\\ \mathrm{K}.á
T_{\text{água,out}}=13^\circ\mathrm{C}+21{,}7239^\circ\mathrm{C}=34{,}7239^\circ\mathrm{C}.á
Comentário didático: aqui usei o princípio da conservação de energia — toda a energia retirada do benzeno é ganha pela água (assumindo sem perdas). Então a água aquece cerca de 21{,}72\\ ^\circ\mathrm{C}, saindo a 34{,}72^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Agora vou montar as temperaturas limite que entram na fórmula da diferença logarítmica média de temperatura ( \mathrm{LMTD}). Para isso precisamos saber as temperaturas de entrada e saída de ambas as correntes:
Benzeno (fluxo quente): entra como vapor a 80^\circ\mathrm{C}, condensa e sai como líquido já sub-resfriado a 46^\circ\mathrm{C}.
Água (fluxo frio): entra a 13^\circ\mathrm{C}, sai a 34{,}7239^\circ\mathrm{C} (calculado).
Defino as diferenças de temperatura nas extremidades (ΔT nos extremos do trocador):
  • Para correntes paralelas (ambos fluem no mesmo sentido): \Delta T_1^{\text{par}} = T_{h,\text{in}} - T_{c,\text{in}} = 80 - 13 = 67\\ ^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2^{\text{par}} = T_{h,\text{out}} - T_{c,\text{out}} = 46 - 34{,}7239 = 11{,}2761\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Para correntes opostas (counterflow): a água entra no lado oposto, então as diferenças nas extremidades são: \Delta T_1^{\text{opp}} = T_{h,\text{in}} - T_{c,\text{out}} = 80 - 34{,}7239 = 45{,}2761\\ ^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2^{\text{opp}} = T_{h,\text{out}} - T_{c,\text{in}} = 46 - 13 = 33\\ ^\circ\mathrm{C}.
Explicação didática: as diferenças de temperatura de extremidade dependem de qual ponta da água fica oposta à ponta do benzeno; por isso há dois conjuntos de ΔT para os dois arranjos.

Passo 6

Calcular a diferença logarítmica média de temperatura ( \mathrm{LMTD}) em cada caso. Fórmula da LMTD:
\mathrm{LMTD} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Cálculo para correntes paralelas:
\mathrm{LMTD}_{\text{par}} = \frac{67 - 11{,}2761}{\ln\!\left(\dfrac{67}{11{,}2761}\right)} = \frac{55{,}7239}{\ln(5{,}9417)} = 31{,}2839\\ ^\circ\mathrm{C}.
Cálculo para correntes opostas:
\mathrm{LMTD}_{\text{opp}} = \frac{45{,}2761 - 33}{\ln\!\left(\dfrac{45{,}2761}{33}\right)} = \frac{12{,}2761}{\ln(1{,}3717)} = 38{,}8080\\ ^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático: a LMTD é uma média logarítmica apropriada quando as diferenças variam exponencialmente ao longo do trocador (o que ocorre em trocadores com variação de temperatura). Note que \mathrm{LMTD}_{\text{opp}}>\mathrm{LMTD}_{\text{par}}, o que normalmente leva a uma área menor para o mesmo desempenho quando se usa correntes opostas.

Passo 7

Finalmente calculo a área necessária A usando a equação de projeto do trocador:
\dot Q = U\,A\,\mathrm{LMTD}\quad\Longrightarrow\quad A = \frac{\dot Q}{U\,\mathrm{LMTD}}.
Substituo \dot Q=458074{,}74\\ \mathrm{W} e U=1135\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
Para correntes opostas:
A_{\text{opp}}=\frac{458074{,}74}{1135\cdot 38{,}8080} = \frac{458074{,}74}{44047{,}08}=10{,}40\\ \mathrm{m^{2}}.
Para correntes paralelas:
A_{\text{par}}=\frac{458074{,}74}{1135\cdot 31{,}2839} = \frac{458074{,}74}{35592{,}63}=12{,}87\\ \mathrm{m^{2}}.
Interpretação: o arranjo em correntes opostas requer área menor (aproximadamente 10{,}4\\ \mathrm{m^2}) do que o arranjo em correntes paralelas (aproximadamente 12{,}9\\ \mathrm{m^2}), por causa da LMTD maior no caso oposto.

Passo 8

Resumo e observações práticas (didática curta e útil):
  • Fiz primeiro o balanço de energia para obter a carga térmica total \dot Q (condensação + sub-resfriamento).
  • Com \dot Q calculei a elevação da água e sua temperatura de saída — isso é importante porque define as diferenças de temperatura nas extremidades do trocador.
  • Usei a fórmula da LMTD para cada configuração (paralela e oposta) e depois a relação \dot Q = U A\,\mathrm{LMTD} para encontrar A.
  • Em provas, esta sequência (1: converter unidades, 2: balanço energético para \dot Q, 3: achar temperaturas de saída do fluido que cede/recebe calor, 4: calcular LMTD, 5: achar A) é o caminho padrão.
  • Se o enunciado pedisse detalhar o trecho isoterma de condensação separadamente, poderíamos dividir o trocador em duas seções (uma com mudança de fase e outra de resfriamento sensível) e calcular áreas parciais; mas para o resultado global e uso do método LMTD as temperaturas de entrada/saída tomadas acima são suficientes e corretas.

Resposta

A_{\text{correntes opostas}} = 10{,}40\\ \mathrm{m^{2}}
A_{\text{correntes paralelas}} = 12{,}87\\ \mathrm{m^{2}}

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