Uma “máquina de chope” simplificada foi construída a partir de um trocador tipo serpentina. Este trocador consiste de uma caixa cúbica de 50 cm de lado, perfeitamente isolada externamente , onde foram dispostos 50 m de serpentina de 10 mm de diâmetro externo. A serpentina, por onde passa a chope, fica em contato com uma mistura gelo-água a 0^{\circ} \mathrm{C}. Considerando os coef. de película interno e externo à serpentina iguais a 75 e 25 \mathrm{kcal} / \mathrm{hm}^{2 \circ} \mathrm{C}, respectivamente, determinar:
a) o fluxo de calor transferido para a mistura água-gelo considerando que o chope entra a 25^{\circ} \mathrm{Ce} sai a 1^{\circ} \mathrm{C};
b) o número de copos de 300 ml que devem ser tirados em 1 hora para que a temperatura do chope se mantenha em 1 oC , considerando que o calor específico e a densidade do chope são iguais a 0,78 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg} . \mathrm{oC} e 1 \mathrm{Kg} / \mathrm{dm} 3, respectivamente;
c) o tempo de duração do gelo, sabendo que, inicialmente, seu volume corresponde a 10 \% do volume da caixa. A densidade e o calor latente de fusão do gelo são, respectivamente, 0,935 \mathrm{~kg} / \mathrm{le} 80,3 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg}.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
  • Caixa cúbica de lado 50\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento da serpentina L=50\\ \mathrm{m} (dado).
  • Diâmetro externo da serpentina D_o=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • A serpentina fica em contato com a mistura gelo-água a 0^{\circ}\mathrm{C} (dado).
  • Coeficientes de película (dados): coeficiente interno h_i=75\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^{\circ}\mathrm{C}) e coeficiente externo h_o=25\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^{\circ}\mathrm{C}).
  • Temperaturas do chope: entra a 25^{\circ}\mathrm{C} e sai a 1^{\circ}\mathrm{C} (dado).
  • Calor específico e densidade do chope (dados): c_p=0{,}78\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{kg}\cdot^{\circ}\mathrm{C}) e \rho=1\\ \mathrm{kg}/\mathrm{dm}^3=1\\ \mathrm{kg}/\mathrm{L}.
  • Volume do copo pedido: V_{\text{copo}}=300\\ \mathrm{mL}=0{,}3\\ \mathrm{L}.
  • Gelo inicialmente ocupa 10\% do volume da caixa (dado).
  • Densidade do gelo \rho_{\text{gelo}}=0{,}935\\ \mathrm{kg}/\mathrm{L} (dado).
  • Calor latente de fusão do gelo L_f=80{,}3\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{kg} (dado).
Pedidos:
a) Determinar o fluxo de calor (potência térmica) transferido para a mistura água–gelo quando o chope entra a 25^{\circ}\mathrm{C} e sai a 1^{\circ}\mathrm{C}.
b) Determinar o número de copos de 300\\ \mathrm{mL} por hora que podem ser retirados para que a temperatura do chope se mantenha em 1^{\circ}\mathrm{C}.
c) Determinar o tempo de duração do gelo, sabendo que ele ocupa inicialmente 10\% do volume da caixa.

Passo 2

Explicação física e estratégia de solução (passo didático curto antes de calcular). Vamos modelar a troca de calor entre o chope (escoando internamente na serpentina) e um banho a temperatura constante 0^{\circ}\mathrm{C}. Quando um fluido escoa dentro de um tubo imerso em banho com temperatura praticamente constante, uma forma prática de calcular a transferência é usar a expressão de troca global por área:
\dot{Q}=U\,A\,\Delta T_{\text{LM}}
onde:
  • \dot{Q} é o fluxo de calor (kcal/h),
  • U é o coeficiente global de transferência de calor (kcal/(h·m^2·°C)),
  • A é a área de troca (m^2),
  • \Delta T_{\text{LM}} é a diferença de temperatura média logarítmica entre o fluido quente (chope, que varia de 25 a 1^{\circ}\mathrm{C}) e o banho frio (constante 0^{\circ}\mathrm{C}).
Vou calcular A, determinar U a partir dos coeficientes h_i e h_o, calcular \Delta T_{\text{LM}} e então \dot{Q}. Em seguida uso balanço energético para obter massa por hora do chope e número de copos, e por fim o tempo de fusão do gelo.

Passo 3

Cálculo da área externa da serpentina (usar diâmetro externo dado). A área de troca (superfície externa do tubo) é:
A=\pi D_o L.
Substituindo D_o=0{,}01\\ \mathrm{m} e L=50\\ \mathrm{m}:
A=\pi\cdot 0{,}01\cdot 50=\pi\cdot 0{,}5 \approx 1{,}5708\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Cálculo do coeficiente global U. Para um tubo com resistências de convecção interna e externa (e desprezando resistência da parede se for muito fina), a resistência térmica total por unidade da área externa é aproximadamente:
\frac{1}{U}=\frac{1}{h_i}+\frac{1}{h_o},
pois estamos assumindo áreas internas e externas aproximadamente iguais (parede fina). Substituindo h_i=75 e h_o=25 (em \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^{\circ}\mathrm{C})):
\frac{1}{U}=\frac{1}{75}+\frac{1}{25}= \frac{1}{75}+\frac{3}{75}=\frac{4}{75},
logo
U=\frac{75}{4}=18{,}75\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^{\circ}\mathrm{C}).
Breve aula sobre isso: o que fizemos foi somar as resistências térmicas de convecção interna e externa (cada resistência é 1/(hA)); como usamos a área externa e a parede é fina, a expressão acima é uma boa aproximação.

Passo 5

Cálculo da diferença de temperatura logarítmica média \Delta T_{\text{LM}}. Como o banho está a temperatura constante T_c=0^{\circ}\mathrm{C}, e o chope entra a T_{h1}=25^{\circ}\mathrm{C} e sai a T_{h2}=1^{\circ}\mathrm{C}, definimos:
\Delta T_1 = T_{h1}-T_c = 25-0=25\\ ^{\circ}\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_{h2}-T_c = 1-0=1\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
A média logarítmica é
\Delta T_{\text{LM}}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)} =\frac{25-1}{\ln(25/1)}=\frac{24}{\ln 25}.
Calculemos numericamente: \ln 25\approx 3{,}2188758, então
\Delta T_{\text{LM}}\approx \frac{24}{3{,}2188758}\approx 7{,}456\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 6

Cálculo do fluxo de calor \dot{Q} usando \dot{Q}=U A \Delta T_{\text{LM}}. Substituindo os valores calculados:
\dot{Q}=18{,}75\cdot 1{,}5708\cdot 7{,}456.
Faço a conta passo a passo:
18{,}75\cdot 1{,}5708\approx 29{,}4524,
29{,}4524\cdot 7{,}456\approx 219{,}52\\ \mathrm{kcal/h}.
Portanto, o fluxo de calor transferido para a mistura água–gelo é aproximadamente
\dot{Q}\approx 219{,}5\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 7

Agora uso balanço de energia para o chope para calcular quantos copos de 0{,}3\\ \mathrm{L} por hora correspondem a essa taxa térmica. A energia removida por hora do chope é igual a \dot{Q} (regime estacionário). A energia necessária para resfriar uma massa m de chope de 25^{\circ}\mathrm{C} a 1^{\circ}\mathrm{C} é m c_p (T_{\text{in}}-T_{\text{out}}). Então a massa por hora (fluxo mássico horário) é:
\dot{m}_{\text{h}}=\frac{\dot{Q}}{c_p\,(T_{in}-T_{out})} =\frac{219{,}52}{0{,}78\cdot(25-1)}=\frac{219{,}52}{0{,}78\cdot 24}.
Calcule:
0{,}78\cdot 24=18{,}72,
\dot{m}_{\text{h}}=\frac{219{,}52}{18{,}72}\approx 11{,}73\\ \mathrm{kg/h}.
Como a densidade do chope é 1\\ \mathrm{kg}/\mathrm{L}, isso corresponde também a 11{,}73\\ \mathrm{L/h}.
Número de copos por hora:
cada copo tem massa m_{\text{copo}}=0{,}3\\ \mathrm{L}\times 1\\ \mathrm{kg}/\mathrm{L}=0{,}3\\ \mathrm{kg}.
N=\frac{\dot{m}_{\text{h}}}{m_{\text{copo}}}=\frac{11{,}73}{0{,}3}\approx 39{,}1.
Como não se tira uma fração de copo, na prática dá para tirar cerca de 39 copos por hora mantendo o chope a 1^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 8

Cálculo do tempo até o gelo derreter. Primeiro calcular o volume da caixa e o volume do gelo inicial:
  • Lado da caixa a=50\\ \mathrm{cm}=0{,}5\\ \mathrm{m}. Volume da caixa:
V_{\text{caixa}}=a^3=(0{,}5)^3=0{,}125\\ \mathrm{m}^3 = 125\\ \mathrm{L}.
(1 m^3 = 1000 L, então 0{,}125\\ \mathrm{m}^3=125\\ \mathrm{L}.)
  • Volume do gelo (10% do volume da caixa):
V_{\text{gelo}}=0{,}10\cdot 125=12{,}5\\ \mathrm{L}.
  • Massa do gelo:
m_{\text{gelo}}=\rho_{\text{gelo}}\,V_{\text{gelo}}=0{,}935\cdot 12{,}5=11{,}6875\\ \mathrm{kg}.
Energia necessária para fundir todo o gelo:
Q_{\text{fus}}=m_{\text{gelo}}\;L_f=11{,}6875\cdot 80{,}3\approx 938{,}0\\ \mathrm{kcal}.
Tempo até o gelo terminar (assumindo que toda a taxa \dot{Q} vai para a fusão enquanto houver gelo, isto é, a mistura permanece a 0^{\circ}\mathrm{C}):
t=\frac{Q_{\text{fus}}}{\dot{Q}}=\frac{938{,}0}{219{,}52}\\ \mathrm{h}\approx 4{,}275\\ \mathrm{h}.
Convertendo a parte decimal em minutos: 0{,}275\\ \mathrm{h}\times 60\\ \mathrm{min/h}\approx 16{,}5\\ \mathrm{min}. Logo o gelo dura aproximadamente 4 horas e 16{,}5 minutos.

Resposta

a) \dot{Q}\approx 219{,}5\\ \mathrm{kcal/h}\n
b) N\approx 39\\ \text{copos/h}\n
c) t\approx 4{,}28\\ \mathrm{h} (aprox. 4\\ \mathrm{h}\\\ 16{,}5\\ \mathrm{min})

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