Um béquer contém água em equilíbrio hidrostático. Mergulha-se totalmente na água uma esfera metálica maciça de volume 5.10^{-5} \mathrm{~m}^{3}, suspensa por um fio inextensível de massa e volume desprezível. A esfera fica totalmente submersa sem tocar nas paredes do béquer. Restabelecido o equilshrio hidrostático verifica-se que a imersão da esfera na água provocou um acréscimo de pressāo \Delta P no fundo do recipiente. A densidade da água é 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e a área da base do recipiente é igual a 2.10^{-3} \mathrm{~m}^{2}. Calcule o acréscimo de pressão. Use \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o acréscimo de pressão no fundo do recipiente devido à esfera submersa.
Dados:
  • Volume da esfera: V=5\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m^3}.
  • Densidade da água: \rho=10^{3}\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Área da base do recipiente: A=2\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
Pergunta:
  • Calcular o acréscimo de pressão \Delta P no fundo do recipiente provocado pela imersão da esfera.

Passo 2

Conceito e raciocínio físico (explicação passo a passo): quando a esfera é totalmente submersa, o fluido exerce sobre ela uma força para cima chamada força de empuxo. A magnitude dessa força é igual ao peso do volume de água deslocado (princípio de Arquimedes). Essa força de empuxo surge da ação do fluido sobre a esfera; por reação (terceira lei de Newton) a esfera aplica ao fluido uma força para baixo de mesma intensidade. Essa força extra para baixo é transmitida ao fundo do recipiente como aumento da força normal sobre a base, portanto produz um acréscimo de pressão \Delta P no fundo. Assim, basta calcular a força de empuxo F_{b} e dividir pela área da base A:
\Delta P=\frac{F_{b}}{A}.

Passo 3

Fórmula do empuxo e cálculo do valor numérico: o empuxo vale o peso do fluido deslocado:
F_{b}=\rho V g.
Substituindo os valores fornecidos:
F_{b}=(10^{3})\cdot(5\cdot10^{-5})\cdot(10)\\ \mathrm{N}.
Calcule passo a passo:
10^{3}\cdot5\cdot10^{-5}=5\cdot10^{-2}=0{,}05,
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F_{b}=0{,}05\cdot10=0{,}5\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Cálculo do acréscimo de pressão dividindo o empuxo pela área da base:
\Delta P=\frac{F_{b}}{A}=\frac{0{,}5}{2\cdot10^{-3}}\\ \mathrm{Pa}.
Faça a divisão:
\Delta P=\frac{0{,}5}{0{,}002}=250\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Verificação rápida de unidades e interpretação: F_{b} em newtons e A em metros quadrados dão \Delta P em pascals, unidade correta de pressão. O valor significa que a pressão no fundo aumentou em 250\\ \mathrm{Pa} por causa da esfera submersa; o fato de a esfera estar presa por um fio não altera o empuxo nem a força adicional transmitida ao fluido (apenas parte do peso é sustentada pelo fio, mas a interação fluido–esfera continua sendo o empuxo calculado).

Resposta

\Delta P=250\\ \mathrm{Pa}

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