Esboce os gráficos das funções modulares: f(x)=\left|x^{2}+3 x+2\right|
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=\left|x^{2}+3x+2\right| e pede que se esboce o gráfico dessa função módulo.
Informações relevantes que temos diretamente do enunciado:
A função é o valor absoluto da expressão quadrática x^{2}+3x+2.
O objetivo é desenhar/entender o formato do gráfico de f.
Passo 2
Primeiro passo prático útil: fatorar a expressão quadrática dentro do módulo para encontrar suas raízes (os pontos onde a expressão interna é zero). Vamos fatorar x^{2}+3x+2.
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
Portanto as raízes da expressão interna são x=-1 e x=-2. Esses serão pontos importantes no gráfico porque aí o valor absoluto toca 0.
Passo 3
Analisar o sinal da expressão interna g(x)=x^{2}+3x+2 em cada intervalo determinado pelas raízes. As raízes dividem a reta em três intervalos: x<-2, -2<x<-1 e x>-1.
Escolhendo pontos teste:
Para x=-3 (no intervalo x<-2): g(-3)=(-3)^{2}+3(-3)+2=9-9+2=2>0. Logo g(x)>0 para x<-2.
Para x=-1,5 (no intervalo -2<x<-1): g(-1,5)=(-1,5)^{2}+3(-1,5)+2=2,25-4,5+2=-0,25<0. Logo g(x)<0 para -2<x<-1.
Para x=0 (no intervalo x>-1): g(0)=2>0. Logo g(x)>0 para x>-1.
Resumo do sinal:
g(x)\ge 0 em (-\infty,-2]\cup[-1,\infty).
g(x)<0 em (-2,-1).
Passo 4
Converter isso em uma definição por partes para [f(x)=|g(x)|). Onde g(x) é não-negativa, f(x)=g(x). Onde g(x) é negativa, f(x)=-g(x) (o módulo reflete o gráfico para valores positivos).
Isto é a instrução prática para desenhar: usar a parábola x^{2}+3x+2\] nas regiões onde ela já está em cima do eixo \(x, e usar a sua reflexão (multiplicada por -1) no intervalo onde ela estava abaixo do eixo.]
Passo 5
Encontrar o vértice da parábola interna g(x)=x^{2}+3x+2, porque ele vai indicar o ponto mais baixo de g (e portanto o máximo do trecho refletido de f se esse vértice cair entre as raízes).
A abscissa do vértice de ax^{2}+bx+c é x_v=-\dfrac{b}{2a}. Aqui a=1 e b=3, então
Logo, entre as raízes x=-2 e x=-1 a parte do gráfico de g que estava abaixo do eixo é refletida para cima, formando um pico (um “arco” invertido) cujo valor máximo é 0,25 em x=-1,5.
Passo 6
Calcular alguns pontos úteis para posicionar o esboço:
f(-2)=0,\qquad f(-1)=0
f(-1,5)=0,25
f(0)=\left|0^{2}+3\cdot0+2\right|=2
f(-3)=\left|(-3)^{2}+3(-3)+2\right|=2
Esses pontos mostram simetria: f(-3)=f(0)=2 e o vértice/reflexo está centrado em x=-1,5.
Passo 7
Descrição da forma do gráfico (como desenhar passo a passo):
Para x\le -2: desenhar a parábola y=x^{2}+3x+2 (ela está acima do eixo x nessa região). A parábola cresce para +\infty quando x\to-\infty.
Em x=-2: f(-2)=0. No ponto x=-2 ocorre uma mudança de ramo: à esquerda usa-se g, à direita usa-se -g. O gráfico é contínuo em x=-2 (valor 0) mas a derivada muda de sinal — há um canto (uma ponta) no gráfico ali.
Para -2<x<-1: desenhar a reflexão -g(x). Como g é concava para cima, -g é côncava para baixo, formando um arco voltado para baixo que atinge o máximo 0,25 em x=-1,5.
Em x=-1: volta a tocar 0. Novamente há um canto em x=-1 por causa da transição entre -g (à esquerda) e g (à direita).
Para x\ge -1: desenhar novamente a parábola y=g(x), que cresce para +\infty quando x\to+\infty.
Passo 8
Propriedades adicionais úteis para o esboço e compreensão:
O gráfico de f é contínuo em toda a reta real (valor absoluto preserva continuidade), mas não é suavemente diferenciável nos pontos x=-2 e x=-1 — há cantos ali porque o trecho inferior da parábola foi refletido.
O gráfico é simétrico em torno da reta x=-1,5 (eixo da parábola original), pois g é simétrica e o módulo preserva essa simetria.
Com pontos-chave para marcar: (-2,0), (-1,0), (-1,5,\,0,25), (-3,2), (0,2). Entre -2 e -1 desenhar um arco invertido que fica entre 0 e 0,25.
Passo 9
Instruções finais de esboço (práticas, como fazer no papel rápido):
Marque no eixo x os pontos -2 e -1 e o ponto médio -1,5.
Marque os pontos (-2,0) e (-1,0).
Marque o pico interno (-1,5,\,0,25).
Para a esquerda de -2 desenhe a “perna” da parábola subindo (passando por (-3,2), etc.).
Para a direita de -1 desenhe a perna direita da parábola subindo (passando por (0,2), etc.).
Entre -2 e -1 desenhe uma pequena cúpula invertida que atinge 0,25 no meio.
Observe os cantos (mudança de inclinação) em -2 e -1.
Resposta
O gráfico é o da parábola y=x^{2}+3x+2 para x\in(-\infty,-2]\cup[-1,\infty) e a reflexão dessa parábola (multiplicada por -1) para x\in(-2,-1). Pontos-chave: (-2,0), (-1,0), pico interior em (-1,5,\,0,25), e valores como f(-3)=f(0)=2. O gráfico é contínuo, possui cantos em x=-2 e x=-1 e é simétrico em torno de x=-1,5.