Esboce os gráficos das funções modulares:
f(x)=\left|x^{2}+3 x+2\right|

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\left|x^{2}+3x+2\right| e pede que se esboce o gráfico dessa função módulo.
Informações relevantes que temos diretamente do enunciado:
  • A função é o valor absoluto da expressão quadrática x^{2}+3x+2.
  • O objetivo é desenhar/entender o formato do gráfico de f.

Passo 2

Primeiro passo prático útil: fatorar a expressão quadrática dentro do módulo para encontrar suas raízes (os pontos onde a expressão interna é zero). Vamos fatorar x^{2}+3x+2.
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
Portanto as raízes da expressão interna são x=-1 e x=-2. Esses serão pontos importantes no gráfico porque aí o valor absoluto toca 0.

Passo 3

Analisar o sinal da expressão interna g(x)=x^{2}+3x+2 em cada intervalo determinado pelas raízes. As raízes dividem a reta em três intervalos: x<-2, -2<x<-1 e x>-1.
Escolhendo pontos teste:
  • Para x=-3 (no intervalo x<-2): g(-3)=(-3)^{2}+3(-3)+2=9-9+2=2>0. Logo g(x)>0 para x<-2.
  • Para x=-1,5 (no intervalo -2<x<-1): g(-1,5)=(-1,5)^{2}+3(-1,5)+2=2,25-4,5+2=-0,25<0. Logo g(x)<0 para -2<x<-1.
  • Para x=0 (no intervalo x>-1): g(0)=2>0. Logo g(x)>0 para x>-1.
Resumo do sinal:
  • g(x)\ge 0 em (-\infty,-2]\cup[-1,\infty).
  • g(x)<0 em (-2,-1).

Passo 4

Converter isso em uma definição por partes para [f(x)=|g(x)|). Onde g(x) é não-negativa, f(x)=g(x). Onde g(x) é negativa, f(x)=-g(x) (o módulo reflete o gráfico para valores positivos).
f(x)=\left|x^{2}+3x+2\right|= \begin{cases} x^{2}+3x+2, & x\in(-\infty,-2]\cup[-1,\infty),\\[4pt] -(x^{2}+3x+2), & x\in(-2,-1). \end{cases}
Isto é a instrução prática para desenhar: usar a parábola x^{2}+3x+2\] nas regiões onde ela já está em cima do eixo \(x, e usar a sua reflexão (multiplicada por -1) no intervalo onde ela estava abaixo do eixo.]

Passo 5

Encontrar o vértice da parábola interna g(x)=x^{2}+3x+2, porque ele vai indicar o ponto mais baixo de g (e portanto o máximo do trecho refletido de f se esse vértice cair entre as raízes).
A abscissa do vértice de ax^{2}+bx+c é x_v=-\dfrac{b}{2a}. Aqui a=1 e b=3, então
x_v=-\dfrac{3}{2}=-1,5.
Valor de g no vértice:
g(-1,5)=(-1,5)^{2}+3(-1,5)+2=2,25-4,5+2=-\tfrac{1}{4}=-0,25.
Como g(-1,5)=-\tfrac{1}{4}<0, este vértice está no intervalo (-2,-1). Para f, que é o módulo, temos
f(-1,5)=\left|-\,\tfrac{1}{4}\right|=\tfrac{1}{4}=0,25.
Logo, entre as raízes x=-2 e x=-1 a parte do gráfico de g que estava abaixo do eixo é refletida para cima, formando um pico (um “arco” invertido) cujo valor máximo é 0,25 em x=-1,5.

Passo 6

Calcular alguns pontos úteis para posicionar o esboço:
f(-2)=0,\qquad f(-1)=0
f(-1,5)=0,25
f(0)=\left|0^{2}+3\cdot0+2\right|=2
f(-3)=\left|(-3)^{2}+3(-3)+2\right|=2
Esses pontos mostram simetria: f(-3)=f(0)=2 e o vértice/reflexo está centrado em x=-1,5.

Passo 7

Descrição da forma do gráfico (como desenhar passo a passo):
  • Para x\le -2: desenhar a parábola y=x^{2}+3x+2 (ela está acima do eixo x nessa região). A parábola cresce para +\infty quando x\to-\infty.
  • Em x=-2: f(-2)=0. No ponto x=-2 ocorre uma mudança de ramo: à esquerda usa-se g, à direita usa-se -g. O gráfico é contínuo em x=-2 (valor 0) mas a derivada muda de sinal — há um canto (uma ponta) no gráfico ali.
  • Para -2<x<-1: desenhar a reflexão -g(x). Como g é concava para cima, -g é côncava para baixo, formando um arco voltado para baixo que atinge o máximo 0,25 em x=-1,5.
  • Em x=-1: volta a tocar 0. Novamente há um canto em x=-1 por causa da transição entre -g (à esquerda) e g (à direita).
  • Para x\ge -1: desenhar novamente a parábola y=g(x), que cresce para +\infty quando x\to+\infty.

Passo 8

Propriedades adicionais úteis para o esboço e compreensão:
  • O gráfico de f é contínuo em toda a reta real (valor absoluto preserva continuidade), mas não é suavemente diferenciável nos pontos x=-2 e x=-1 — há cantos ali porque o trecho inferior da parábola foi refletido.
  • O gráfico é simétrico em torno da reta x=-1,5 (eixo da parábola original), pois g é simétrica e o módulo preserva essa simetria.
  • Com pontos-chave para marcar: (-2,0), (-1,0), (-1,5,\,0,25), (-3,2), (0,2). Entre -2 e -1 desenhar um arco invertido que fica entre 0 e 0,25.

Passo 9

Instruções finais de esboço (práticas, como fazer no papel rápido):
  1. Marque no eixo x os pontos -2 e -1 e o ponto médio -1,5.
  2. Marque os pontos (-2,0) e (-1,0).
  3. Marque o pico interno (-1,5,\,0,25).
  4. Para a esquerda de -2 desenhe a “perna” da parábola subindo (passando por (-3,2), etc.).
  5. Para a direita de -1 desenhe a perna direita da parábola subindo (passando por (0,2), etc.).
  6. Entre -2 e -1 desenhe uma pequena cúpula invertida que atinge 0,25 no meio.
  7. Observe os cantos (mudança de inclinação) em -2 e -1.

Resposta

O gráfico é o da parábola y=x^{2}+3x+2 para x\in(-\infty,-2]\cup[-1,\infty) e a reflexão dessa parábola (multiplicada por -1) para x\in(-2,-1). Pontos-chave: (-2,0), (-1,0), pico interior em (-1,5,\,0,25), e valores como f(-3)=f(0)=2. O gráfico é contínuo, possui cantos em x=-2 e x=-1 e é simétrico em torno de x=-1,5.

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