Esboce os gráficos das funções modulares:
f(x)=|3 x-6|

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Esboçar o gráfico da função f(x)=|3x-6|.
Informações dadas:
  • A única informação é a própria função f(x)=|3x-6|.
O que vou entregar:
  • Uma descrição passo a passo do gráfico (pontos importantes, equações dos ramos, como desenhar na prova) e a forma por partes da função.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto de forma simples (a “aula rápida” do que é necessário).
  • Por definição, para qualquer expressão u\), \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
  • Aqui u=3x-6\]. Isso significa que devemos separar os casos em que \(3x-6 é não negativo e em que é negativo. Não é nada mágico: quando a expressão dentro do módulo é positiva, o módulo “some”; quando é negativa, o módulo inverte o sinal.]

Passo 3

Achar o ponto onde a expressão dentro do módulo muda de sinal (o vértice do “V”).
  • Resolver 3x-6=0:
3x-6=0\quad\Rightarrow\quad 3x=6\quad\Rightarrow\quad x=2.
  • Logo, em x=2 a função tem valor
f(2)=|3\cdot 2-6|=|0|=0,
ou seja, o ponto (2,0) é o vértice (o fundo do “V”).

Passo 4

Obter forma por partes da função (passo fundamental para esboçar sem erro).
  • Para x\ge 2 temos 3x-6\ge 0, logo
f(x)=3x-6,\qquad x\ge 2.
  • Para x<2 temos 3x-6<0, logo
f(x)=-(3x-6)=-3x+6,\qquad x<2.
  • Em bloco, a forma por partes é
f(x)= \begin{cases} -3x+6, & x<2,\\[4pt] 3x-6, & x\ge 2. \end{cases}]

Passo 5

Interpretação geométrica dos ramos (o que desenhar na prova).
  • O ramo à esquerda ( x<2) é a reta y=-3x+6. Tem inclinação -3 e intercepto em y dado por f(0)=6. Então passa por (0,6) e por (2,0).
  • O ramo à direita ( x\ge 2) é a reta y=3x-6. Tem inclinação 3 e passa por (2,0). Por exemplo, f(3)=3\cdot 3-6=3, então passa por (3,3).
  • O gráfico é um “V” com vértice em (2,0), ramo esquerdo inclinando para baixo à medida que vamos para a esquerda (slope -3) e ramo direito inclinando para cima com slope 3.

Passo 6

Domínio, imagem e pontos úteis para traçar rapidamente (na prova, sem calculadora).
  • Domínio: \mathbb{R} (toda a reta).
  • Imagem: [0,\infty) porque valor absoluto nunca é negativo e atinge 0 em x=2.
  • Pontos práticos para marcar no esboço:
    • Vértice: (2,0).
    • Intercepto em y: f(0)=|3\cdot 0-6|=6 → ponto (0,6).
    • Um ponto à direita: f(3)=3 → ponto (3,3).
    • Um ponto à esquerda: f(1)=|3-6|=3 → ponto (1,3).
  • Com esses pontos e as inclinações \pm 3 já dá pra desenhar certinho.

Passo 7

Outra visão útil: transformação do gráfico de |x|.
  • Note que
f(x)=|3x-6|=|3(x-2)|=3\,|x-2|.
  • Isso diz: comece com o gráfico de y=|x|, desloque 2 unidades para a direita (torna-se |x-2|) e depois estique verticalmente por fator 3 (multiplicando por 3). O vértice de |x| estava em (0,0), vira (2,0); os ramos ficam mais inclinados porque multiplicamos por 3.

Passo 8

Como desenhar rapidamente em uma prova (resumo prático):
  1. Marque o vértice em (2,0).
  2. Desenhe a reta à esquerda passando por (0,6) com inclinação -3 até o vértice.
  3. Desenhe a reta à direita subindo com inclinação 3 a partir do vértice; por exemplo passe por (3,3).
  4. Garanta que os ramos formem um “V” simétrico em torno do vértice no sentido da escala vertical dada pelas inclinações.

Resposta

f(x)= \begin{cases} -3x+6, & x<2,\\[4pt] 3x-6, & x\ge 2, \end{cases}
Vértice em (2,0); intercepto em y em (0,6); domínio \mathbb{R}; imagem [0,\infty).]

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