Repita o exercício anterior supondo agora que o corpo está imerso em água.
Supondo agora que exista um atrito viscoso que produz uma força, f=-eta v
Qual é a condição para que o sistema oscile?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber qual é a condição para que um sistema oscile quando um corpo está imerso em água e sofre um atrito viscoso, ou seja, uma força que depende da velocidade. O conteúdo aqui envolve mecânica dos sistemas oscilatórios, especialmente considerando forças de atrito viscoso. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas forças afetam o movimento do sistema e quais condições permitem que ocorram oscilações.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que temos um sistema simples: um corpo com massa m d^2xdt^2 + kx = 0 preso a uma mola com constante elástica . Quando esse corpo se move, a mola exerce uma força restauradora que tenta trazê-lo de volta à posição de equilíbrio. A equação que descreve esse movimento sem atrito é:
Aqui, é o deslocamento do corpo em relação à posição de equilíbrio.

Passo 3

Agora, como o corpo está imerso em água, há um atrito viscoso que age contra o movimento. Essa força de atrito é dada por:
f = -eta dxdt
onde é o coeficiente de viscosidade e é a velocidade do corpo. Essa força adiciona uma resistência que tenta desacelerar o movimento.

Passo 4

Incorporando a força de atrito à equação do movimento, temos:
m d^2xdt^2 + eta dxdt + kx = 0
Essa é a equação diferencial que descreve um sistema oscilatório com amortecimento viscoso.

Passo 5

Para que o sistema oscile, ele precisa ter soluções oscilatórias. Isso ocorre quando o sistema está subamortecido, ou seja, quando o atrito viscoso não é forte o suficiente para impedir as oscilações. Matemáticamente, isso acontece quando a taxa de amortecimento é menor que a taxa crítica .

Passo 6

A taxa crítica de amortecimento é dada por:
etac = 2raizmk
Então, para que o sistema oscile, a condição é:
eta < etac Rightarrow eta < 2raizmk

Resposta

Para que o sistema oscile, o coeficiente de viscosidade deve ser menor que duas vezes a raiz quadrada do produto da massa pela constante da mola, ou seja:
eta < 2raizmk

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