Calcule as derivadas direcionais na direção do vetor vecv e no ponto P, onde:
f(x, y)=x^2 y^3, v=i+j, P(16, 3)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^2y^3,
o vetor de direção
v=i+j
e o ponto
Pl(tfrac16,3r)
Para calcular a derivada direcional de f em P na direção de v vamos usar a definição
Duf(P)=nabla f(P)cdotu,
onde u é o vetor unitário na direção de v e nabla f é o gradiente de f.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y) =2x,y^3, partial fpartial y(x,y) =3x^2,y^2
Logo o gradiente é
nabla f(x,y) =l(2x,y^3,,3x^2,y^2r)

Passo 3

Avaliaremos o gradiente em Pl(tfrac16,3r):
partial fpartial xl(tfrac16,3r) =2cdottfrac16cdot3^3 =tfrac26cdot27 =9,
partial fpartial yl(tfrac16,3r) =3cdotl(tfrac16r)^2cdot3^2 =3cdottfrac136cdot9 =tfrac2736 =tfrac34
Portanto
nabla fl(tfrac16,3r) =(9,tfrac34)

Passo 4

O vetor de direção dado é v=(1,1). Para obter o vetor unitário u fazemos
|v|=raiz1^2+1^2=raiz2, u=v|v| =l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar de nabla f(P) por u:
Duf(P) =(9,tfrac34)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) =9+tfrac34raiz2 =tfrac364+tfrac34raiz2 =tfrac394raiz2 =394raiz2
Podemos também racionalizar o denominador:
394raiz2 =39raiz28

Resposta

Dufl(tfrac16,3r) =394raiz2 (ou) 39raiz28

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