Se
é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de mudança de base
Passo 1
O enunciado dá que
é uma base de um espaço vetorial
(logo
tem
vetores, onde
) e pergunta qual é a matriz de mudança de base
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A base é
. - Pede-se a matriz associada à aplicação identidade
escrita nas bases domínio e contradomínio iguais a .
Passo 2
Explicação do que significa
.
- Para qualquer aplicação linear
, a matriz tem como coluna as coordenadas do vetor escritas na base , onde é o -ésimo vetor da base . - No caso presente,
(a identidade) e as bases do domínio e do contradomínio são ambas . Portanto a coluna de é o vetor de coordenadas de na base .
Passo 3
Calcular explicitamente as colunas.
- Para cada
vale . - Escrever
em coordenadas na base . Como já é um vetor da própria base, sua expansão na base é
onde
é o delta de Kronecker (ou seja,
se
e
se
).
- Assim, as coordenadas de
na base formam o vetor coluna canônico com na posição .
Passo 4
Montar a matriz a partir das colunas.
- Como a coluna
é o vetor canônico , a matriz tem como colunas . - Portanto todos os elementos da matriz são dados por
- Isso é exatamente a matriz identidade de ordem
.
Passo 5
Se
(caso
), então as colunas são
e
e
Isso exemplifica o caso geral.]