Se \beta é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de mudança de base [I]_{\beta}^{\beta}

Passo 1

O enunciado dá que \beta é uma base de um espaço vetorial V (logo \beta tem n vetores, onde n=\dim V) e pergunta qual é a matriz de mudança de base [I]_{\beta}^{\beta}.
Informações relevantes:
  • A base é \beta=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}.
  • Pede-se a matriz associada à aplicação identidade I:V\to V escrita nas bases domínio e contradomínio iguais a \beta.

Passo 2

Explicação do que significa [I]_{\beta}^{\beta}.
  • Para qualquer aplicação linear T:V\to W, a matriz [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} tem como coluna j as coordenadas do vetor T(v_{j}) escritas na base \mathcal{C}, onde v_{j} é o j-ésimo vetor da base \mathcal{B}.
  • No caso presente, T=I (a identidade) e as bases do domínio e do contradomínio são ambas \beta. Portanto a coluna j de [I]_{\beta}^{\beta} é o vetor de coordenadas de I(v_{j}) na base \beta.

Passo 3

Calcular explicitamente as colunas.
  • Para cada j\in\{1,\dots,n\} vale I(v_{j})=v_{j}.
  • Escrever v_{j} em coordenadas na base \beta. Como v_{j} já é um vetor da própria base, sua expansão na base \beta é
v_{j}=\sum_{k=1}^{n}\delta_{kj}\,v_{k},
onde \delta_{kj} é o delta de Kronecker (ou seja, \delta_{kj}=1 se k=j e \delta_{kj}=0 se k\neq j).
  • Assim, as coordenadas de v_{j} na base \beta formam o vetor coluna canônico (0,\dots,0,1,0,\dots,0)^{T} com 1 na posição j.

Passo 4

Montar a matriz a partir das colunas.
  • Como a coluna j é o vetor canônico e_{j}, a matriz [I]_{\beta}^{\beta} tem como colunas e_{1},e_{2},\dots,e_{n}.
  • Portanto todos os elementos da matriz são dados por
\bigl([I]_{\beta}^{\beta}\bigr)_{ij}=\delta_{ij}.
  • Isso é exatamente a matriz identidade de ordem n.

Passo 5

Se \beta=\{v_{1},v_{2}\} (caso n=2), então as colunas são (1,0)^{T} e (0,1)^{T} e
[I]_{\beta}^{\beta}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Isso exemplifica o caso geral.]

Resposta

[I]_{\beta}^{\beta}=I_{n}
\bigl([I]_{\beta}^{\beta}\bigr)_{ij}=\delta_{ij}

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