Seja S subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4} dado por S=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x+2 y-z=0\right. e \left.t=0\right\}. Pergunta-se:
Determine dois vetores de geram S. Eles são únicos? Se não, apresente outros.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço S\subset\mathbb{R}^{4} definido por duas restrições lineares:
  • x+2y-z=0,
  • t=0.
As perguntas são:
  1. Determinar dois vetores que gerem S (isto é, encontrar um conjunto gerador com dois vetores).
  2. Esses vetores são únicos? Se não, apresentar outros vetores que também gerem S.

Passo 2

Primeiro vamos escrever genericamente um vetor de S usando as restrições. As variáveis são x,y,z,t com as condições dadas; podemos escolher x e y como parâmetros livres e expressar z e t em função deles.
Da primeira condição temos
z = x + 2y.
Da segunda condição temos
t = 0.
Portanto um vetor qualquer de S tem a forma
(x,y,z,t) = (x,y,x+2y,0).

Passo 3

Agora vamos escrever (x,y,x+2y,0) como combinação linear dos vetores que vamos extrair. Agrupando os coeficientes x e y,
(x,y,x+2y,0) = x\,(1,0,1,0) \;+\; y\,(0,1,2,0).
Isto mostra que todo vetor de S é combinação linear dos vetores
v_1 = (1,0,1,0)\quad\text{e}\quad v_2 = (0,1,2,0).
Logo S=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}, ou seja, esses dois vetores geram S.
(Aqui foi usado o procedimento padrão: parametrizar as variáveis livres e escrever o vetor como soma das parámetro vezes vetores fixos — técnica muito útil em prova.)

Passo 4

Devemos verificar se v_1\) e \(v_2\) são linearmente independentes (para ver se formam uma base). Considere \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tais que \[\alpha v_1+\beta v_2 = (0,0,0,0).
Isto é
\alpha(1,0,1,0)+\beta(0,1,2,0)=(0,0,0,0).
Comparando coordenadas obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha = 0,\\[4pt] \beta = 0,\\[4pt] \alpha + 2\beta = 0,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}
Das duas primeiras equações segue \alpha=0\] e \(\beta=0. Portanto são linearmente independentes. Como estão em S e são dois vetores independentes numa subvariedade que vimos parametrizar com dois graus de liberdade, conclui-se que formam uma base de S (ou seja, geram S e não têm redundância).]

Passo 5

Os vetores geradores não são únicos. Explicação conceitual: [S) tem dimensão 2 (duas incógnitas livres x,y), então qualquer par de vetores em S que seja linearmente independente também será uma base e, portanto, gerará S. Assim existem infinitas escolhas possíveis.
Vou dar exemplos explícitos de outros pares que também geram S:
Exemplo A (escalando os vetores originais):
w_1 = 2(1,0,1,0) = (2,0,2,0),\qquad w_2 = 3(0,1,2,0) = (0,3,6,0).
Cada um está em S; como são múltiplos escalares distintos dos originais (e não múltiplos entre si), continuam independentes e geram S.
Exemplo B (combinações lineares dos originais):
u_1 = v_1 + v_2 = (1,1,3,0),\qquad u_2 = v_1 - v_2 = (1,-1,-1,0).
Mostro que estes geram S. Para qualquer (x,y,x+2y,0)\in S queremos \alpha,\beta tais que
\alpha u_1 + \beta u_2 = (x,y,x+2y,0).
Das duas primeiras coordenadas obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + \beta = x,\\[4pt] \alpha - \beta = y. \end{cases}
Resolvendo,
\alpha = \frac{x+y}{2},\qquad \beta = \frac{x-y}{2}.
Substituindo na terceira coordenada confirma-se que a combinação dá x+2y\]. Logo \(u_1,u_2 geram S. Além disso são independentes (verifica-se que \alpha=\beta=0 é única solução para combinação nula), então formam outra base.]

Passo 6

Resumo prático para prova: a maneira direta é parametrizar por variáveis livres e extrair vetores geradores; qualquer par de vetores em S linearmente independente gera S. Em particular um gerador canônico é dado pelos vetores v_1 e v_2 encontrados.

Resposta

v_1=(1,0,1,0) e v_2=(0,1,2,0) geram S.
Não são únicos. Exemplos alternativos que também geram S: (2,0,2,0) e (0,3,6,0); ou (1,1,3,0) e (1,-1,-1,0).

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