Complete as sentenças:
Se A é uma matriz simétrica,então
。
Se A é uma matriz simétrica,então
Passo 1
O enunciado dá a informação direta:
é uma matriz simétrica e pede que se complete a sentença
Informações relevantes que temos do enunciado:
-
é uma matriz simétrica. - Por definição (informação útil para usar depois), uma matriz simétrica é uma matriz quadrada que satisfaz uma relação entre
e .
Passo 2
Definição e notação que vou usar (explicando devagar):
- A transposta de uma matriz
é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Em termos de elementos, se então
Aqui
significa o elemento da linha
e coluna
de
.
Passo 3
O que significa “matriz simétrica” (explicação didática):
- Dizer que
é simétrica quer dizer exatamente que a transposta é igual à própria matriz. Em símbolos:
Isto também implica que
é quadrada (tem dimensões
) porque só faz sentido comparar
e
se forem da mesma forma.
Passo 4
Fazendo a conta principal usando a propriedade da simetria:
- Substituo
na expressão pedida:
- Qual é a diferença de uma matriz por ela mesma? É a matriz nula (matriz cujos elementos são todos zero). Portanto
onde
é a matriz zero de mesma dimensão de
.
Passo 5
Prova elementar (para ficar sem dúvida, passo a passo nos elementos):
- Escrevendo elemento a elemento, seja
. Então . O elemento da diferença é
- Como
é simétrica, para todo . Logo
para todo
. Isso mostra que todos os elementos da matriz
são zero, ou seja,
é a matriz nula
.
Passo 6
Exemplo concreto para fixar (rapidinho):
- Tome uma matriz simétrica
,
Então
e
confirmando o resultado.]