Complete as sentenças:
Se A é uma matriz simétrica,então A-A^{T}= \_ \_\_\_

Passo 1

O enunciado dá a informação direta: A é uma matriz simétrica e pede que se complete a sentença
A - A^{T} = \underline{\phantom{xxxx}}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A é uma matriz simétrica.
  • Por definição (informação útil para usar depois), uma matriz simétrica é uma matriz quadrada que satisfaz uma relação entre A e A^{T}.

Passo 2

Definição e notação que vou usar (explicando devagar):
  • A transposta de uma matriz A é a matriz A^{T} obtida trocando linhas por colunas. Em termos de elementos, se A=(a_{ij}) então
(A^{T})_{ij} = a_{ji}.
Aqui a_{ij} significa o elemento da linha i e coluna j de A.

Passo 3

O que significa “matriz simétrica” (explicação didática):
  • Dizer que A é simétrica quer dizer exatamente que a transposta é igual à própria matriz. Em símbolos:
A\\ \text{simétrica} \quad\Longrightarrow\quad A^{T}=A.é
Isto também implica que A é quadrada (tem dimensões n\times n) porque só faz sentido comparar A e A^{T} se forem da mesma forma.

Passo 4

Fazendo a conta principal usando a propriedade da simetria:
  • Substituo A^{T}=A na expressão pedida:
A - A^{T} = A - A.
  • Qual é a diferença de uma matriz por ela mesma? É a matriz nula (matriz cujos elementos são todos zero). Portanto
A - A^{T} = 0_{n\times n},
onde 0_{n\times n} é a matriz zero de mesma dimensão de A.

Passo 5

Prova elementar (para ficar sem dúvida, passo a passo nos elementos):
  • Escrevendo elemento a elemento, seja A=(a_{ij}). Então (A^{T})_{ij}=a_{ji}. O elemento ij da diferença é
(A-A^{T})_{ij}=a_{ij}-a_{ji}.
  • Como A é simétrica, a_{ij}=a_{ji} para todo i,j. Logo
(A-A^{T})_{ij}=a_{ij}-a_{ij}=0
para todo i,j. Isso mostra que todos os elementos da matriz A-A^{T} são zero, ou seja, A-A^{T} é a matriz nula 0_{n\times n}.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar (rapidinho):
  • Tome uma matriz simétrica 2\times2,
A=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}.
Então A^{T}=A e
A-A^{T}=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
confirmando o resultado.]

Resposta

0_{n\times n}

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