Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc} 4 & -1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5 \end{array}\right], D=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right], E=\left[\begin{array}{ccc} 6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right]
Em cada parte,calcule a expressão dada(se possível).
C(B A)

Passo 1

O enunciado dá as matrizes (copiadas do enunciado):
A=\begin{pmatrix}3 & 0 \\[2pt] -1 & 2 \\[2pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}4 & -1 \\[2pt] 0 & 2\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1 & 4 & 2 \\[2pt] 3 & 1 & 5\end{pmatrix}.
A pergunta desta parte é: calcular a expressão \,C(BA)\,, se for possível.]

Passo 2

Regra fundamental para multiplicação de matrizes (a parte teórica que sempre uso na prova):
  • Se M é uma matriz de tamanho m\times n (m linhas, n colunas) e N é uma matriz de tamanho p\times q, então o produto MN está definido se, e somente se, n=p.
  • Nesse caso o produto MN tem dimensão m\times q e seu elemento (i,j) é dado por
(MN)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} M_{ik}\,N_{kj}.
Isso significa: o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda; depois o produto é feito somando produtos de entradas correspondentes.

Passo 3

Analisar as dimensões das matrizes que aparecem em C(BA):
  • \,A é 3\times 2 (3 linhas, 2 colunas).
  • \,B é 2\times 2.
  • \,C é 2\times 3.
O produto pedido é C(BA). Primeiro é preciso verificar se BA está definido (pois está entre parênteses).

Passo 4

Verificação de BA:
  • Para multiplicar B por A precisamos que o número de colunas de B seja igual ao número de linhas de A.
  • B tem 2 colunas; A tem 3 linhas. Como 2 \neq 3, a multiplicação BA NÃO está definida.
    Portanto a expressão interna BA não existe, então C(BA) também não pode ser formada nessa ordem.

Passo 5

Por via das dúvidas: testar se existe alguma outra associação que permita multiplicar C, B, A em ordem diferente (às vezes em provas aparece CBA sem parênteses e devemos escolher associação). As duas associações possíveis são (C B)A e C(BA).
  • Já vimos que BA não está definido, logo C(BA) impossível.
  • Testar (CB)A: para CB ser definido precisamos que o número de colunas de C (que é 3) iguale o número de linhas de B (que é 2). Como 3\neq 2, CB também não está definido.
    Conclusão: não existe maneira de multiplicar C,B,A em cadeia — nenhum dos parênteses possíveis produz multiplicações definidas.

Passo 6

Para fixar a ideia e treinar a técnica que você usaria na prova (sem ser possível resolver exatamente C(BA) por causa das dimensões), eis um exemplo relacionado que SÍ estaria definido e como proceder: A B é definido porque A é 3\times2 e B é 2\times2; então AB seria 3\times2 e cada elemento (AB)_{ij} seria
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,B_{kj}.
Se precisasse, eu poderia calcular explicitamente AB usando essa soma linha por coluna passo a passo. (Aqui só estou mostrando o método; não altera que C(BA) é impossível.)

Resposta

Não é possível calcular C(BA). A multiplicação BA não está definida porque B tem 2 colunas e A tem 3 linhas, e 2\neq 3; além disso, a outra associação (CB)A também não está definida porque C tem 3 colunas e B tem 2 linhas, e 3\neq 2.

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