8 Se beta é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de mudança de base [I]beta^beta

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a matriz de mudança de base da aplicação identidade
;Icolon Vto V;
quando se usa a mesma base beta tanto no domínio quanto no contradomínio. O conteúdo envolvido é representação de transformações lineares em bases e, em especial, a mudança de coordenadas pela aplicação identidade.

Passo 2

Por definição, a matriz de relativa à base é
onde é o vetor de coordenadas de na base .

Passo 3

Como para todo , o vetor de coordenadas é exatamente o vetor canônico
com o 1 na posição .

Passo 4

Portanto, cada coluna de [I]beta^beta é ej, de modo que
[I]beta^beta = l[e1;|;e2;|;cdots;|;enr]
que é, por definição, a matriz identidade de ordem n.

Resposta

[I]beta^beta = In

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