Questão 1 Considere a matriz real A=(ai j)4 times 3 e a matriz B=(bi j)3 times 4 com ai j=(2-i) * (j-2) e Bi j=(i-j).
(a) Determine a matriz C=B A.
(b) Qual o conjunto S solução do sistema C X=0 ?

Passo 1

O enunciado dá as matrizes AinR^4times3 com
ajk = (2 - j),(k - 2),
e BinR^3times4 com
bij = i - j
Pede-se (a) C = B,A e (b) o conjunto solução de C,X = 0. Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes e em seguida caracterizar o núcleo de C.

Passo 2

Calculamos linha a linha de A. Para j=1,dots,4 e k=1,2,3:
  • j=1:;(2-1)(k-2)=1cdot(k-2)implies(-1,0,1).
  • j=2:;(2-2)(k-2)=0implies(0,0,0).
  • j=3:;(2-3)(k-2)=-1cdot(k-2)implies(1,0,-1).
  • j=4:;(2-4)(k-2)=-2cdot(k-2)implies(2,0,-2).
    Logo,
A = -1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & -1 2 & 0 & -2

Passo 3

Calculamos linha a linha de B. Para i=1,2,3 e j=1,dots,4:
  • i=1:;(1-j)implies(0,-1,-2,-3).
  • i=2:;(2-j)implies(1,0,-1,-2).
  • i=3:;(3-j)implies(2,1,0,-1).
    Portanto,
B = 0 & -1 & -2 & -3 1 & 0 & -1 & -2 2 & 1 & 0 & -1

Passo 4

Usamos
cik = sumj=1^4 bij,ajk,
para obter
C = B,A = -8 & 0 & 8 -6 & 0 & 6 -4 & 0 & 4

Passo 5

Para resolver C,X=0 com X=(x1,x2,x3)^T, note que todas as linhas de C são múltiplos de (-8,0,8). Assim o sistema é equivalente a
-8x1+0cdot x2+8x3 = 0 Long<=ftrightarrow x1 = x3,
e x2 livre. Logo o espaço das soluções tem dimensão 2.

Resposta

(a)
C = -8 & 0 & 8 -6 & 0 & 6 -4 & 0 & 4
(b)
S = (x1,x2,x3)mid x1=x3 = llang<=(1,0,1),,(0,1,0)rrang<=

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