7 Sejam beta=(1,0),(0,1), beta1=(-1,1),(1,1), beta2=(raiz3, 1),(raiz3,-1) e beta3=(2,0),(0,2) bases ordenadas de R^3
a) Ache as matrizes de mudança de base [I]beta^beta1,[I]beta1^beta,[I]beta2^beta,[I]beta3^beta
b)Quais são as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação a cada base?

Passo 1

O enunciado trata de mudança de base em R^2. Temos as bases ordenadas
beta=(1,0),(0,1),
beta1=(-1,1),(1,1),
beta2=(raiz3,1),(raiz3,-1) e
beta3=(2,0),(0,2).
Na parte (a) queremos as matrizes de mudança de coordenadas
[I]beta^beta1, [I]beta1^beta, [I]beta2^beta e [I]beta3^beta.
Na parte (b) queremos as coordenadas do vetor v=(3,-2) em cada uma dessas bases.

Passo 2

Para encontrar
Resolvendo
buscamos tais que
resolvendo
Logo,
]

Passo 3

Como beta é a base canônica, para [I]betai^beta basta colocar em colunas as próprias coordenadas dos vetores de betai no sistema canônico.
[I]beta1^beta = -1 & 1 1 & 1 , [I]beta2^beta = raiz3 & raiz3[4pt] 1 & -1 , [I]beta3^beta = 2 & 0 0 & 2 ]

Passo 4

Para achar as coordenadas de v=(3,-2) em cada base, escrevemos
v=x1e1+x2e2
na base canônica e1=(1,0),e2=(0,1), e de modo análogo em cada betai.
1. Em beta (canônica) fica trivialmente
[v]beta=(3,-2)
2. Em beta1=u1=(-1,1),u2=(1,1) resolvemos
(3,-2)=alpha u1+beta u2=(-alpha+beta,;alpha+beta),
o que dá
alpha=-tfrac52, beta=tfrac12.
3. Em beta2=w1=(raiz3,1),w2=(raiz3,-1) escrevemos
(3,-2)=alpha w1+beta w2 =l((alpha+beta)raiz3,;alpha-betar)
e obtemos
alpha=tfracraiz3-22, beta=tfracraiz3+22.
4. Em beta3=z1=(2,0),z2=(0,2) basta
(3,-2)=alpha(2,0)+beta(0,2)=(2alpha,2beta),
logo
alpha=tfrac32, beta=-1.

Resposta

a)
[I]beta^beta1 = -tfrac12 & tfrac12 [4pt] tfrac12 & tfrac12 , [I]beta1^beta = -1 & 1 1 & 1 ,
[I]beta2^beta = raiz3 & raiz3[4pt] 1 & -1 , [I]beta3^beta = 2 & 0 0 & 2
b)
[v]beta=(3,-2), [v]beta1=l(-tfrac52,tfrac12r), [v]beta2=l(tfracraiz3-22,tfracraiz3+22r), [v]beta3=l(tfrac32,-1r) ]

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