d zd t=-beta z(1-nu z), z(0)=1
Observe que o problema de valor inicial (27) não depende de mu(t).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
dzdt = -beta,zl(1-nu zr), z(0)=1,
um problema de equação separável, típico de modelos logísticos. Vamos usar separação de variáveis e frações parciais para encontrar z(t).

Passo 2

Primeiro separamos as variáveis escrevendo
dzz(1-nu z) = -beta,dt
Aqui a ideia é colocar tudo que envolve z de um lado e t do outro.

Passo 3

Em seguida usamos frações parciais para integrar o lado esquerdo. Observamos que
1z(1-nu z) = 1z + nu1-nu z
Logo integrando ambos os lados:
integral l(1z + nu1-nu zr)dz = integral -beta,dt,
o que dá
ln|z| - ln|1-nu z| = -beta t + C

Passo 4

Usamos a condição inicial z(0)=1 para achar a constante C. Em t=0, a equação vira
ln11-nu = C,
então C = -ln(1-nu). Substituindo de volta:
lnz1-nu z = -beta t - ln(1-nu) = -beta t + ln11-nu

Passo 5

Por fim, exponenciamos e isolamos z:
z1-nu z = e^-beta t1-nu
zl((1-nu)+nu e^-beta tr) = e^-beta t
z(t) = e^-beta t(1-nu)+nu e^-beta t = 1(1-nu)e^beta t + nu

Resposta

z(t)=e^-beta t(1-nu)+nu e^-beta t, que equivale a z(t)=1(1-nu)e^beta t+nu.

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