Em cada item, use a regra da cadeia para calcular d f / d t (escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de t ).
© f(x, y, z)=x e^y / z, x(t)=t^2, y(t)=1-t, z(t)=1+2 t.

Passo 1

A questão nos dá a função de três variáveis f(x,y,z)=x e^y/z e as parametrizações x(t)=t^2, y(t)=1-t, z(t)=1+2t. O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, e vamos precisar calcular as derivadas parciais de f em relação a x,y,z e as derivadas de x,y,z em relação a t.

Passo 2

Vamos obter as derivadas parciais de f:
fx = e^y/z,
fy = x e^y/z cdot 1z,
fz = x e^y/z cdot l(-yz^2r)
Aqui usei que partial/partial x,(x e^y/z)=e^y/z e nas demais apliquei a derivada do expoente.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de x,y,z em relação a t:
dxdt = 2t,
dydt = -1,
dzdt = 2

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:
dfdt = fx dxdt + fy dydt + fz dzdt

Passo 5

Substituindo cada termo:
dfdt = e^y/zcdot 2t + x e^y/z1zcdot(-1) + x e^y/zl(-yz^2r)cdot 2

Passo 6

Fatorando e^y/z para simplificar:
dfdt = e^y/zl(2t - xz - 2xyz^2r)

Resposta

dfdt = e^y/zl(2t - xz - 2xyz^2r)

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