Considere a função f(x)=raiz2 x^4(2 x^2-4 x+2)(x-2)(x^2-1).

Informações:

  • f^prime(x)=-2 x(x-1)(x+4)(x-2)^2(x+1)^2 raizx^2-2 x+1
  • f^prime prime(x)=4 raizx^2-2 x+1(x^3+6 x^2+4)(x-2)^3(x-1)(x+1)^3
    (a) Determine o domínio da função f(x).
    Nota :

Passo 1

Somos dados a função f(x)=raiz2 x^4(2 x^2-4 x+2)(x-2)(x^2-1). O conteúdo é estudo de domínio de função que envolve radiciação (condição de não-negatividade do radicando) e divisão (denominador não pode ser zero).

Passo 2

Para função com radical raizcdot, precisamos garantir que o radicando seja maior ou igual a zero, isto é, 2 x^4(2 x^2-4 x+2)>=0. Além disso, como há divisão, o denominador não pode ser zero, ou seja, (x-2)(x^2-1)neq0.

Passo 3

Vamos simplificar o radicando para ver suas restrições:
2 x^4(2 x^2-4 x+2)=4 x^4(x-1)^2

Passo 4

Observamos que 4 x^4>=0 para todo xinR e (x-1)^2>=0 para todo x. Logo,
4 x^4(x-1)^2>=0para todo x
Isso quer dizer que não há restrição extra vinda do radical: o radicando é sempre não-negativo.

Passo 5

Agora, o denominador deve satisfazer
(x-2)(x^2-1)neq0

Passo 6

Como x^2-1=(x-1)(x+1), temos que deve ser excluído
x=2, x=1, x=-1

Passo 7

Portanto, juntando tudo, o domínio de f(x) é todos os reais, exceto -1,1,2.

Resposta

Rsetminus-1,1,2

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