Uma bicicleta apoiada num suporte tem sua roda traseira livre para girar. A corrente da bicicleta exerce uma força constante de 18 Newtons sobre a catraca traseira de 7 cm de raio. Considere a catraca presa à roda, sendo a roda um aro com I=M R^{2} e R=35 \mathrm{~cm} e M=2,4 \mathrm{~kg}.
(a) Encontre o torque que a corrente exerce sobre a catraca.
(b) Qual é a velocidade angular da roda 5,0 segundos depois de começar a pedalar.
(c) Quantas voltas ira dar a roda traseira nesses 5,0 segundos?
Horário
:

Passo 1

O enunciado descreve uma roda apoiada livremente e presa a uma catraca de raio r_c = 7\\ \mathrm{cm} sobre a qual a corrente exerce uma força constante F = 18\\ \mathrm{N}$. A catraca está solidária à roda, modelada como um aro de massa \(M = 2{,}4\\ \mathrm{kg} e raio R = 35\\ \mathrm{cm}, de momento de inércia
I = M R^2.
Começando do repouso, pedimos (a) o torque sobre a catraca, (b) a velocidade angular da roda após t = 5{,}0\\ \mathrm{s} e (c) o número de voltas nesse intervalo. Usaremos as fórmulas de dinâmica da rotação:
\tau = I\,\alpha,\quad \omega(t)=\alpha\,t,\quad \theta(t)=\tfrac12\,\alpha\,t^2,\quad N=\frac{\theta}{2\pi}.)

Passo 2

Para achar o torque \tau que a corrente exerce na catraca usamos
\tau = F\,r_c.
Substituindo F=18\\ \mathrm{N} e r_c=0{,}07\\ \mathrm{m}:
\tau = 18 \times 0{,}07 = 1{,}26\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 3

Calculemos o momento de inércia da roda (aro):
I = M\,R^2 = 2{,}4 \times (0{,}35)^2 = 2{,}4 \times 0{,}1225 = 0{,}294\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
A partir de \tau = I\,\alpha obtemos a aceleração angular
\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{1{,}26}{0{,}294}\approx 4{,}29\\ \mathrm{rad/s^2}.
Como parte do repouso, após t=5{,}0\\ \mathrm{s} a velocidade angular é
\omega = \alpha\,t = 4{,}29 \times 5{,}0 \approx 21{,}4\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

O deslocamento angular em 5{,}0\\ \mathrm{s} é
\theta = \tfrac12\,\alpha\,t^2 = \tfrac12 \times 4{,}29 \times (5{,}0)^2 \approx 53{,}6\\ \mathrm{rad}.
O número de voltas é
N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{53{,}6}{2\pi} \approx 8{,}53\\ \text{voltas}.

Resposta

(a) \tau = 1{,}26\\ \mathrm{N\cdot m}.
(b) \omega(5{,}0\\ \mathrm{s}) \approx 21{,}4\\ \mathrm{rad/s}.
(c) N \approx 8{,}53 voltas.

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