Um bife (steak) de 2 cm de espessura é marinado com vinagre de vinho tinto que apresenta uma concentração de 50 Kg / m^3 de ácido acético. Quanto tempo o bife deve permanecer marinando para que possa atingir uma concentração de 10 Kg / m^3 de ácido acético em 2 mm dentro do bife (isto é, 2 mm abaixo da superfície do bife)? Considerações:
Assuma que ocorra difusão nos dois lados do bife.
O coeficiente de difusão ( DAB) para o ácido acético através do bife é de 0,2.10^-9 m^2 / s.
O bife é agitado no container tal que o coeficiente de transferência de massa (kc) é muito alto. Considere o bife como uma placa plana.

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente tem: um bife (placa plana) de 2 cm de espessura que está mergulhado num vinagre com concentração de ácido acético de 50 kg/m³. Queremos saber quanto tempo ele precisa ficar marinando para, a 2 mm da superfície, dentro do bife, a concentração chegar a 10 kg/m³. A difusão do ácido no bife obedece à lei de Fick (coeficiente ) e como o bife está agitado, a superfície “vê” sempre 50 kg/m³ (ou seja, condição de contorno de concentração constante). Para resolver a gente vai usar a solução da equação de difusão para um meio semi-infinito (por ser fino, mas a penetração de 2 mm é bem menor do que os 1 cm de meia-espessura) e a função erro.

Passo 2

Teoria básica: a equação de difusão é
partial Cpartial t = D,partial^2 Cpartial x^2
Aqui:
  • Condição inicial: (antes não tinha ácido dentro).
  • Condição de contorno na superfície : .
    Como a penetração de 2 mm é pequena frente à meia-espessura (1 cm), tratamos o bife como semi-infinito em profundidade.

Passo 3

A solução para um semi-infinito com superfície a concentração constante C(x,t);=;Csl[1 - erf!l(tfracx2raizD,tr)r], e interior inicial zero é
onde é a função erro. Isso significa que, a uma profundidade , a concentração cresce com o tempo segundo essa expressão.

Passo 4

Queremos achar o tempo C(x,t)Cs =1-erf!l(x2raizD,tr) Longrightarrow erf!l(x2raizD,tr) =1-1050=0,8 tal que z = erf^-1(0,8)approx0,906 kg/m³ em x2raizD,t=0,906 Longrightarrow t = x^24,D,(0,906)^2 mm. Então:
Chamando , dá , logo
Desse jeito

Passo 5

Agora só colocar números:
  • t = (0,002)^24 times 0,2times10^-9times(0,906)^2 approx6,1times10^3 s mm m
  • m²/s

Resposta

O bife deve marinar por aproximadamente s, ou seja, cerca de 1,7 horas.

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