Um bife (steak) de 2 cm de espessura é marinado com vinagre de vinho tinto que apresenta uma concentração de
de ácido acético. Quanto tempo o bife deve permanecer marinando para que possa atingir uma concentração de
de ácido acético em 2 mm dentro do bife (isto é, 2 mm abaixo da superfície do bife)? Considerações:
Assuma que ocorra difusão nos dois lados do bife.
O coeficiente de difusão (
) para o ácido acético através do bife é de
.
O bife é agitado no container tal que o coeficiente de transferência de massa (kc) é muito alto. Considere o bife como uma placa plana.
Assuma que ocorra difusão nos dois lados do bife.
O coeficiente de difusão (
O bife é agitado no container tal que o coeficiente de transferência de massa (kc) é muito alto. Considere o bife como uma placa plana.
Passo 1
Beleza, aqui o que a gente tem: um bife (placa plana) de 2 cm de espessura que está mergulhado num vinagre com concentração de ácido acético de 50 kg/m³. Queremos saber quanto tempo ele precisa ficar marinando para, a 2 mm da superfície, dentro do bife, a concentração chegar a 10 kg/m³. A difusão do ácido no bife obedece à lei de Fick (coeficiente
) e como o bife está agitado, a superfície “vê” sempre 50 kg/m³ (ou seja, condição de contorno de concentração constante). Para resolver a gente vai usar a solução da equação de difusão para um meio semi-infinito (por ser fino, mas a penetração de 2 mm é bem menor do que os 1 cm de meia-espessura) e a função erro.
Passo 2
Teoria básica: a equação de difusão é
Aqui:
- Condição inicial:
(antes não tinha ácido dentro). - Condição de contorno na superfície
: .
Como a penetração de 2 mm é pequena frente à meia-espessura (1 cm), tratamos o bife como semi-infinito em profundidade.
Passo 3
A solução para um semi-infinito com superfície a concentração constante
e interior inicial zero é
onde
é a função erro. Isso significa que, a uma profundidade
, a concentração cresce com o tempo segundo essa expressão.
Passo 4
Queremos achar o tempo
tal que
kg/m³ em
mm. Então:
Chamando
, dá
, logo
Desse jeito
Passo 5
Agora só colocar números:
-
mm m -
m²/s -
Resposta
O bife deve marinar por aproximadamente
s, ou seja, cerca de 1,7 horas.