Determine o tempo necessário para reduzir a umidade no centro em 10 % de uma placa de argila de espessura igual a 5 cm que é colocada em uma esteira que passa através de um secador contínuo, restringindo a secagem apenas a um lado das superfícies planas. A umidade inicial é de 15 % e a umidade na superfície submetida às condições de secagem constante é de 4 %. O coeficiente de difusividade da água na argila é de 1,3.10^-4 cm^2 / s.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz assim: temos uma placa de argila com espessura total de 5 cm, umidade inicial uniforme de 15 %, e só um lado (x=0) fica “esticado” a uma umidade constante de 4 %. O outro lado (x=L=5 cm) é isolado (sem fluxo). Queremos saber quanto tempo leva para, bem no centro (x=2,5 cm), a umidade cair de 15 % para 5 % (isto é, redução de 10 % em termos absolutos).
Conteúdo: difusão unidimensional (equação de difusão/transiente) na forma ∂M/∂t = D ∂²M/∂x², com condições de contorno Dirichlet em x=0 e Neumann em x=L. Vamos usar a solução em série de Fourier e aproximar só pelo primeiro termo.

Passo 2

Dados e teoria envolvida:
  • Espessura L = 5 cm.
  • Coeficiente de difusividade D = 1,3·10⁻⁴ cm²/s.
  • Umidade inicial M₀ = 15 %, umidade de superfície M_∞ = 4 %.
  • No interior: equação da difusão unidimensional ∂M∂t ;=; D,∂^2 M∂x^2
  • Condições de contorno:
    1. em x=0: M(0,t)=M_∞ = 4 % (Dirichlet),
    2. em x=L: ∂M/∂x (L,t)=0 (Neumann, isolamento).
  • Condição inicial: M(x,0)=M₀=15 %.
    Para simplificar, trabalhamos com a variável adimensional
θ(x,t);=;M(x,t)-M∞M₀ - M∞,,
de modo que θ=1 no início e θ→0 conforme t→∞.

Passo 3

Solução em série (ver livro básico de transferência de massa):
θ(x,t);=;sumn=1^∞ An,sin(βn x),expl(-βn^2,D,tr),
onde os autovalores βₙ vêm de cos(βₙ L)=0 ⇒
βn = (2n-1),pi2,L (n=1,2,3,dots)
Os coeficientes Aₙ, obtidos pela expansão da condição inicial constante, ficam
An = 2L,βn
Na posição do centro, x = L/2, temos
θl(L/2,tr) = sumn=1^∞ 2L,βn,sin!l(βnL2r), e^-βn^2,D,t
O que queremos é o tempo t tal que M(L/2,t)=5 %, ou seja
θl(L/2,tr) = 5-415-4 = 111 approx 0,09091

Passo 4

Para não ficar calculando série inteira, vamos usar só o primeiro termo (n=1):
  • β₁ = π/(2L) = π/(2·5 cm)=π/10≈0,31416 cm⁻¹
  • A1,sin(β1 L/2) = 25·0,31416;×;0,7071 ≈0,9003
  • Coeficiente A₁ = 2/(L β₁) = 2/(5·0,31416) ≈1,2732 → mas como multiplica sin(β₁L/2) dá: θl(L/2,tr) ≈ 0,9003;expl[-(β1^2,D),tr]
Então
0,9003;e^-β1^2 D,t = 0,09091 ;Longrightarrow; e^-β1^2 D,t = 0,090910,9003 ≈0,1010
A condição θ=1/11 dá
-β1^2,D,t = ln(0,1010) ≈ -2,293 Longrightarrow t = 2,293β1^2,D
Tirando ln:
β1^2,D = (0,31416)^2·1,3×10^-4 ≈1,283×10^-5;s^-1,
Agora plugando ¦
t ≈ 2,2931,283×10^-5 ≈1,79×10^5;s ≈49,7;horas
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Resposta

O tempo necessário é cerca de
t ≈ 1,8×10^5 s l(approx50 hr)

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