Determine o tempo necessário para reduzir a umidade no centro em
de uma placa de argila de espessura igual a 5 cm que é colocada em uma esteira que passa através de um secador contínuo, restringindo a secagem apenas a um lado das superfícies planas. A umidade inicial é de
e a umidade na superfície submetida às condições de secagem constante é de
. O coeficiente de difusividade da água na argila é de
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz assim: temos uma placa de argila com espessura total de 5 cm, umidade inicial uniforme de 15 %, e só um lado (x=0) fica “esticado” a uma umidade constante de 4 %. O outro lado (x=L=5 cm) é isolado (sem fluxo). Queremos saber quanto tempo leva para, bem no centro (x=2,5 cm), a umidade cair de 15 % para 5 % (isto é, redução de 10 % em termos absolutos).
Conteúdo: difusão unidimensional (equação de difusão/transiente) na forma ∂M/∂t = D ∂²M/∂x², com condições de contorno Dirichlet em x=0 e Neumann em x=L. Vamos usar a solução em série de Fourier e aproximar só pelo primeiro termo.
Conteúdo: difusão unidimensional (equação de difusão/transiente) na forma ∂M/∂t = D ∂²M/∂x², com condições de contorno Dirichlet em x=0 e Neumann em x=L. Vamos usar a solução em série de Fourier e aproximar só pelo primeiro termo.
Passo 2
Dados e teoria envolvida:
- Espessura L = 5 cm.
- Coeficiente de difusividade D = 1,3·10⁻⁴ cm²/s.
- Umidade inicial M₀ = 15 %, umidade de superfície M_∞ = 4 %.
- No interior: equação da difusão unidimensional
- Condições de contorno:
- em x=0: M(0,t)=M_∞ = 4 % (Dirichlet),
- em x=L: ∂M/∂x (L,t)=0 (Neumann, isolamento).
- Condição inicial: M(x,0)=M₀=15 %.
Para simplificar, trabalhamos com a variável adimensional
de modo que θ=1 no início e θ→0 conforme t→∞.
Passo 3
Solução em série (ver livro básico de transferência de massa):
onde os autovalores βₙ vêm de cos(βₙ L)=0 ⇒
Os coeficientes Aₙ, obtidos pela expansão da condição inicial constante, ficam
Na posição do centro, x = L/2, temos
O que queremos é o tempo t tal que M(L/2,t)=5 %, ou seja
Passo 4
Para não ficar calculando série inteira, vamos usar só o primeiro termo (n=1):
- β₁ = π/(2L) = π/(2·5 cm)=π/10≈0,31416 cm⁻¹
-
- Coeficiente A₁ = 2/(L β₁) = 2/(5·0,31416) ≈1,2732 → mas como multiplica sin(β₁L/2) dá:
Então
A condição θ=1/11 dá
Tirando ln:
Agora plugando ¦
logo
Resposta
O tempo necessário é cerca de