Um poste de carvalho retangular, de 10 cm por 10 cm de largura e 45 cm de comprimento, com um teor de umidade uniforme inicial de
em peso é colocado num forno de secagem onde a sua umidade de superfície é mantida a
em peso. A taxa de secagem foi controlada pela difusão interna da água no estado líquido até a superfície. Se o teor máximo de umidade é fixada em
em peso, quanto tempo este poste deverá ser exposto à secagem quando suas extremidades estão seladas com uma barreira de vapor? Faça uma comparação com o tempo para as mesmas condições de secagem se as superfícies laterais são vedadas por uma barreira de vapor e as extremidades estão expostas? Assuma que a madeira é um material isotrópico. A difusividade da água através do carvalho é de
nas condições de secagem especificadas.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o problema pede.
Você tem um postão de carvalho em forma de paralelepípedo de 10 cm×10 cm×45 cm, com teor de umidade inicial de 45 % em peso. Ele vai pra um forno onde a superfície fica com 15 % de umidade. A secagem é controlada só pela difusão interna da água, até chegar a 25 % de umidade.
Primeiro caso: as extremidades (os lados de 10 cm×10 cm) estão seladas, então a água só sai pelas faces laterais (área 10 cm×45 cm).
Segundo caso: as faces laterais estão seladas e a água sai só pelas extremidades de 10 cm×10 cm.
Nos dois casos a difusividade é D=1,04·10⁻⁵ cm²/s e a madeira é considerada isotrópica.
O que vamos usar:
Você tem um postão de carvalho em forma de paralelepípedo de 10 cm×10 cm×45 cm, com teor de umidade inicial de 45 % em peso. Ele vai pra um forno onde a superfície fica com 15 % de umidade. A secagem é controlada só pela difusão interna da água, até chegar a 25 % de umidade.
Primeiro caso: as extremidades (os lados de 10 cm×10 cm) estão seladas, então a água só sai pelas faces laterais (área 10 cm×45 cm).
Segundo caso: as faces laterais estão seladas e a água sai só pelas extremidades de 10 cm×10 cm.
Nos dois casos a difusividade é D=1,04·10⁻⁵ cm²/s e a madeira é considerada isotrópica.
O que vamos usar:
- A segunda lei de Fick para um “slab” (placa de espessura 2L).
- A solução analítica em série para condição de superfície em umidade constante.
- Aproximação usando só o primeiro termo da série para achar o tempo t que faz o teor cair de 45 % até 25 %.
Passo 2
Teoria e modelo matemático (1D, placa finita)
- A equação de difusão em uma direção x é a segunda lei de Fick:
onde C é o teor de umidade local (em % em peso) e D a difusividade.
- Para uma placa de espessura total 2L, com condição inicial uniforme
e superfícies em mantidas em (pressupomos sempre a mesma condutância de superfície, ou seja, “Bi grande”, superfície instantaneamente ajusta a Cs), a solução para o teor médio dá lugar à definição do “Moisture Ratio”:
e a série de Fourier fornece
- Freqüentemente a gente usa só o primeiro termo (n=0) pra estimar:
- No nosso caso,
, , e queremos . Logo
Passo 3
Tempo de secagem com as extremidades seladas
Aqui a placa tem espessura 10 cm no sentido da difusão (só sai água pelas faces laterais de 10×45). Então
Aqui a placa tem espessura 10 cm no sentido da difusão (só sai água pelas faces laterais de 10×45). Então
Usando a aproximação de um termo:
Calculemos:
Tomando ln dos dois lados,
Convertendo pra horas:
Passo 4
Tempo de secagem com as faces laterais seladas
Agora a água só sai pelas extremidades de 10×10, ou seja, a difusão ao longo do comprimento de 45 cm:
Agora a água só sai pelas extremidades de 10×10, ou seja, a difusão ao longo do comprimento de 45 cm:
Repetimos exatamente o mesmo cálculo, só trocando L:
Resposta
Com as extremidades seladas (água saindo só pelas faces laterais de 10 cm×45 cm) dá cerca de 240 h (10 dias).
Se em vez disso você selar as faces laterais e deixar a água sair só pelas extremidades de 10 cm×10 cm, o tempo sobe para cerca de 4 900 h (203 dias).
Se em vez disso você selar as faces laterais e deixar a água sair só pelas extremidades de 10 cm×10 cm, o tempo sobe para cerca de 4 900 h (203 dias).