Um poste de carvalho retangular, de 10 cm por 10 cm de largura e 45 cm de comprimento, com um teor de umidade uniforme inicial de 45 % em peso é colocado num forno de secagem onde a sua umidade de superfície é mantida a 15 % em peso. A taxa de secagem foi controlada pela difusão interna da água no estado líquido até a superfície. Se o teor máximo de umidade é fixada em 25 % em peso, quanto tempo este poste deverá ser exposto à secagem quando suas extremidades estão seladas com uma barreira de vapor? Faça uma comparação com o tempo para as mesmas condições de secagem se as superfícies laterais são vedadas por uma barreira de vapor e as extremidades estão expostas? Assuma que a madeira é um material isotrópico. A difusividade da água através do carvalho é de 1,04.10^-5 cm^2 / s nas condições de secagem especificadas.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o problema pede.
Você tem um postão de carvalho em forma de paralelepípedo de 10 cm×10 cm×45 cm, com teor de umidade inicial de 45 % em peso. Ele vai pra um forno onde a superfície fica com 15 % de umidade. A secagem é controlada só pela difusão interna da água, até chegar a 25 % de umidade.
Primeiro caso: as extremidades (os lados de 10 cm×10 cm) estão seladas, então a água só sai pelas faces laterais (área 10 cm×45 cm).
Segundo caso: as faces laterais estão seladas e a água sai só pelas extremidades de 10 cm×10 cm.
Nos dois casos a difusividade é D=1,04·10⁻⁵ cm²/s e a madeira é considerada isotrópica.
O que vamos usar:
  1. A segunda lei de Fick para um “slab” (placa de espessura 2L).
  2. A solução analítica em série para condição de superfície em umidade constante.
  3. Aproximação usando só o primeiro termo da série para achar o tempo t que faz o teor cair de 45 % até 25 %.

Passo 2

Teoria e modelo matemático (1D, placa finita)
  1. A equação de difusão em uma direção x é a segunda lei de Fick:
partial Cpartial t ;=; D,partial^2 Cpartial x^2,
onde C é o teor de umidade local (em % em peso) e D a difusividade.
  1. Para uma placa de espessura total 2L, com condição inicial uniforme MR(t);=;C(t)-CsC0-Cs e superfícies em MR(t) =8pi^2sumn=0^infty1(2n+1)^2 exp!l[-,(2n+1)^2pi^2,D,t4L^2r] mantidas em MR(t)approx 8pi^2 exp!l[-,pi^2,D,t4,L^2r] (pressupomos sempre a mesma condutância de superfície, ou seja, “Bi grande”, superfície instantaneamente ajusta a Cs), a solução para o teor médio MR(t);=;25-1545-15;=;1030;=;0,3333 dá lugar à definição do “Moisture Ratio”:
e a série de Fourier fornece
  1. Freqüentemente a gente usa só o primeiro termo (n=0) pra estimar:
  1. No nosso caso, , , e queremos . Logo

Passo 3

Tempo de secagem com as extremidades seladas
Aqui a placa tem espessura 10 cm no sentido da difusão (só sai água pelas faces laterais de 10×45). Então
2L = 10 cmLongrightarrow L=5 cm
Usando a aproximação de um termo:
0,3333 approx 8pi^2, exp!l[-,pi^2,D,t4,L^2r] Longrightarrow exp!l[-,pi^2,D,t4,L^2r] = 0,3333,pi^28
Calculemos:
8pi^2approx0,8106 Longrightarrow exp!l[-,pi^2,D,t4,L^2r] =0,33330,8106approx0,4114
Tomando ln dos dois lados,
-,pi^2,D,t4,L^2 = ln(0,4114)approx -0,888,
t = 4,L^2pi^2,D,(0,888) = 4,(5)^2pi^2,(1,04times10^-5)times0,888 approx8,65times10^5 s
Convertendo pra horas:
tapprox 8,65times10^53600approx240 h approx10 dias

Passo 4

Tempo de secagem com as faces laterais seladas
Agora a água só sai pelas extremidades de 10×10, ou seja, a difusão ao longo do comprimento de 45 cm:
2L = 45 cmLongrightarrow L=22,5 cm
Repetimos exatamente o mesmo cálculo, só trocando L:
t approx 4,(22,5)^2pi^2,(1,04times10^-5)times0,888 approx1,75times10^7 s approx4,9times10^3 h approx203 dias

Resposta

Com as extremidades seladas (água saindo só pelas faces laterais de 10 cm×45 cm) dá cerca de 240 h (10 dias).
Se em vez disso você selar as faces laterais e deixar a água sair só pelas extremidades de 10 cm×10 cm, o tempo sobe para cerca de 4 900 h (203 dias).

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