1. (binomial2) Considere as funções dbinom() e pbinom(). Seja X uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros n e p.
    Obtenha Pr(X>7) se n=15 e p=2 / 3;

Passo 1

Vamos resumir: temos uma variável aleatória X com distribuição binomial de parâmetros n=15 e p=2/3. Queremos calcular Pr(X>7). Para isso, vamos usar a definição de pmf e cdf da binomial e as funções dbinom() e pbinom() do R.

Passo 2

A função massa de probabilidade (pmf) da binomial é dada por
Pr(X=k)=binomnkp^k(1-p)^n-k,
e a função distribuição acumulada (cdf) até q é
Pr(X<= q)=sumk=0^qbinomnkp^k(1-p)^n-k
No R, dbinom(k,n,p) retorna a pmf em k e pbinom(q,n,p) retorna a cdf até q.

Passo 3

Para obter Pr(X>7), usamos o complemento da cdf até 7:
Pr(X>7)=1-Pr(X<=7)=1-pbinom(7,15,2/3)

Passo 4

Como alternativa, podemos somar a pmf diretamente de k=8 até 15:
Pr(X>7)=sumk=8^15binom15kl(tfrac23r)^kl(tfrac13r)^15-k,
o que em R seria escrito como sum(dbinom(8:15,15,2/3)).

Passo 5

Basta então rodar no R:
1-pbinom(7,15,2/3)
e obtemos aproximadamente 0,915.

Resposta

Pr(X>7)approx0.915

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