Binômio de Newton
Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de
.
Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede a soma de todos os coeficientes do polinómio resultante.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão a desenvolver é
. - O que se quer: a soma dos coeficientes do polinómio obtido ao desenvolver essa expressão.
Passo 2
Ideia-chave (fato útil que vou usar): para qualquer polinómio
a soma dos coeficientes
é exatamente o valor do polinómio em
. Em símbolos:
Por que isso é verdade? Se
, então substituindo
obtemos
que é justamente a soma dos coeficientes. É uma propriedade simples e muito prática: em vez de expandir tudo, basta avaliar em
.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso polinómio
, a soma dos coeficientes é
. Calculamos:
Como
, concluímos que a soma dos coeficientes é
.
Passo 4
(Fica como verificação e reforço didático) Outra forma de ver sem usar diretamente
: factorizar
, então
Ao expandir
por binómio obtém-se uma soma de termos da forma
; multiplicando por
desloca as potências mas não altera os coeficientes. Somando esses coeficientes dá
pelo teorema binomial — novamente
. É a mesma resposta, vista por outro ângulo.
Passo 5
Resumo curto e incentivo: em provas, quando pedirem soma dos coeficientes, pense primeiro em avaliar o polinómio em
— muitas vezes evita cálculos longos. Você já desatou o nó aqui: a resposta é simples mesmo que a potência seja grande. Força aí, você tá indo bem!