Binômio de Newton
Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de \left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{15}.

Passo 1

O enunciado dá a expressão \left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{15} e pede a soma de todos os coeficientes do polinómio resultante.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão a desenvolver é \left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{15}.
  • O que se quer: a soma dos coeficientes do polinómio obtido ao desenvolver essa expressão.

Passo 2

Ideia-chave (fato útil que vou usar): para qualquer polinómio
P(x)=\sum_{k} a_k x^k
a soma dos coeficientes a_k é exatamente o valor do polinómio em x=1. Em símbolos:
\text{soma dos coeficientes}=\sum_{k} a_k = P(1).
Por que isso é verdade? Se P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, então substituindo x=1 obtemos
P(1)=a_0+a_1\cdot1+a_2\cdot1^2+\cdots+a_n\cdot1^n=a_0+a_1+\cdots+a_n,
que é justamente a soma dos coeficientes. É uma propriedade simples e muito prática: em vez de expandir tudo, basta avaliar em x=1.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso polinómio P(x)=\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{15}, a soma dos coeficientes é P(1). Calculamos:
P(1)=\left(1^{3}-2\cdot1^{2}\right)^{15}=\left(1-2\right)^{15}=(-1)^{15}.
Como (-1)^{15}=-1, concluímos que a soma dos coeficientes é -1.

Passo 4

(Fica como verificação e reforço didático) Outra forma de ver sem usar diretamente P(1): factorizar \left(x^{3}-2x^{2}\right)=x^{2}(x-2), então
\left(x^{3}-2x^{2}\right)^{15}=x^{30}(x-2)^{15}.
Ao expandir (x-2)^{15} por binómio obtém-se uma soma de termos da forma \binom{15}{k}x^{15-k}(-2)^k; multiplicando por x^{30} desloca as potências mas não altera os coeficientes. Somando esses coeficientes dá
\sum_{k=0}^{15}\binom{15}{k}(-2)^k=(1-2)^{15},
pelo teorema binomial — novamente (-1)^{15}=-1. É a mesma resposta, vista por outro ângulo.

Passo 5

Resumo curto e incentivo: em provas, quando pedirem soma dos coeficientes, pense primeiro em avaliar o polinómio em x=1 — muitas vezes evita cálculos longos. Você já desatou o nó aqui: a resposta é simples mesmo que a potência seja grande. Força aí, você tá indo bem!

Resposta

-1

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