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Visão. Quando uma luz possuindo vibrações com frequência angular variando de 2,7 \times 10^{15} \mathrm{rad} / \mathrm{s} a 4,7 \times 10^{15} \mathrm{rad} / \mathrm{s} atinge a retina, ela estimula as células receptoras lá existentes e é percebida como luz visível. Quais são os limites do período e a frequência dessa luz?

Passo 1

O enunciado dá a faixa de frequência angular da luz que é percebida como visível e pede os limites do período e da frequência correspondentes. Informações fornecidas:
  • Frequência angular mínima: \omega_{\min} = 2,7\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Frequência angular máxima: \omega_{\max} = 4,7\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s}.
O que precisa ser encontrado:
  • Os limites da frequência \,f (em hertz, \mathrm{Hz}) correspondentes a \omega_{\min} e \omega_{\max}.
  • Os limites do período T (em segundos, \mathrm{s}) correspondentes a essa mesma faixa de \omega.

Passo 2

Vamos entender as relações entre as grandezas e as fórmulas que vamos usar, e o que cada símbolo significa.
  • A frequência angular \omega mede quantos radianos a fase da onda avança por segundo. Unidade: \mathrm{rad/s}.
  • A frequência f mede quantos ciclos completos ocorrem por segundo. Unidade: \mathrm{Hz} (hertz).
  • O período T é o tempo de um ciclo completo. Unidade: \mathrm{s}.
As relações básicas entre elas são:
\omega = 2\pi f,
f = \dfrac{\omega}{2\pi},
T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{2\pi}{\omega}.
Aqui, \pi é a constante matemática (aproximadamente 3,14159265). Em palavras: a frequência angular é 2\pi vezes a frequência comum porque um ciclo tem 2\pi radianos.

Passo 3

Calcular as frequências f a partir das \omega dadas usando f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
Primeiro calcule o valor numérico de 2\pi:
2\pi \approx 6,283185307.
Agora a frequência mínima (associada a \omega_{\min}):
f_{\min}=\dfrac{\omega_{\min}}{2\pi}=\dfrac{2,7\times10^{15}}{6,283185307} \approx 4,30\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
E a frequência máxima (associada a \omega_{\max}):
f_{\max}=\dfrac{\omega_{\max}}{2\pi}=\dfrac{4,7\times10^{15}}{6,283185307} \approx 7,49\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Comentário rápido: f_{\min} corresponde à menor \omega e f_{\max} à maior \omega, como esperado.

Passo 4

Calcular os períodos T. É mais direto usar T=\dfrac{2\pi}{\omega}, que dá o mesmo resultado que T=1/f.
Período associado a \omega_{\min}:
T_{\max}=\dfrac{2\pi}{\omega_{\min}}=\dfrac{6,283185307}{2,7\times10^{15}} \approx 2,33\times10^{-15}\\ \mathrm{s}.
(Aqui chamei esse T_{\max} porque \omega_{\min} gera o MAIOR período.)
Período associado a \omega_{\max}:
T_{\min}=\dfrac{2\pi}{\omega_{\max}}=\dfrac{6,283185307}{4,7\times10^{15}} \approx 1,34\times10^{-15}\\ \mathrm{s}.
Resumo conceptual: maiores \omega → maior f → menor T; menores \omega → menor f → maior T.

Passo 5

Verificação rápida de consistência (cheque mental útil na prova): multiplicando f por T deve dar 1. Por exemplo, usando f_{\min}\approx4,30\times10^{14}\\ \mathrm{Hz} e T_{\max}\approx2,33\times10^{-15}\\ \mathrm{s},
f_{\min}\,T_{\max}\approx (4,30\times10^{14})(2,33\times10^{-15})\approx 1.
Isso confirma que os valores estão coerentes.

Resposta

Frequência: \,4,30\times10^{14}\\ \mathrm{Hz} \le f \le 7,49\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
Período: \,1,34\times10^{-15}\\ \mathrm{s} \le T \le 2,33\times10^{-15}\\ \mathrm{s}

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