Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contraexemplo.
(q) ( ) Se
diverge e
, então
converge;
(q) ( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é sobre séries infinitas, especificamente sobre a convergência ou divergência delas. O enunciado diz que se a série
diverge e cada termo
é diferente de zero, então a série
converge. Vamos analisar se essa afirmação é verdadeira ou falsa, usando conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma série
divergir. Isso quer dizer que a soma dos termos não se aproxima de um número finito quando adicionamos mais e mais termos. Agora, a afirmação sugere que, se isso acontece, então a série formada pelos inversos desses termos,
, vai convergir, ou seja, somar a um valor finito.
Passo 3
Para verificar se a afirmação é verdadeira, podemos tentar encontrar um contraexemplo. Um contraexemplo é uma situação onde a premissa é verdadeira, mas a conclusão é falsa. Se encontrarmos pelo menos um caso assim, a afirmação geral será falsa.
Passo 4
Vamos considerar a série harmônica, que é um exemplo clássico de série divergente. Ou seja, a série
diverge. Aqui, cada termo
é diferente de zero para todo
.
Passo 5
Agora, vamos formar a série dos inversos desses termos:
. Essa nova série é a soma dos números naturais
, que claramente também diverge, pois não se aproxima de nenhum valor finito.
Passo 6
Encontramos um exemplo onde a série original diverge e a série dos inversos também diverge. Isso mostra que a afirmação não é sempre verdadeira, já que existe pelo menos um caso onde a conclusão não se sustenta.
Resposta
Falso. Um contraexemplo é a série
, que diverge, e sua série de inversos
também diverge.