Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contraexemplo.
(q) ( ) Se sumn=1^+infty an diverge e an neq 0, forall n >= 1, então sumn=1^+infty 1an converge;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é sobre séries infinitas, especificamente sobre a convergência ou divergência delas. O enunciado diz que se a série diverge e cada termo é diferente de zero, então a série converge. Vamos analisar se essa afirmação é verdadeira ou falsa, usando conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma série divergir. Isso quer dizer que a soma dos termos não se aproxima de um número finito quando adicionamos mais e mais termos. Agora, a afirmação sugere que, se isso acontece, então a série formada pelos inversos desses termos, , vai convergir, ou seja, somar a um valor finito.

Passo 3

Para verificar se a afirmação é verdadeira, podemos tentar encontrar um contraexemplo. Um contraexemplo é uma situação onde a premissa é verdadeira, mas a conclusão é falsa. Se encontrarmos pelo menos um caso assim, a afirmação geral será falsa.

Passo 4

Vamos considerar a série harmônica, que é um exemplo clássico de série divergente. Ou seja, a série diverge. Aqui, cada termo é diferente de zero para todo .

Passo 5

Agora, vamos formar a série dos inversos desses termos: . Essa nova série é a soma dos números naturais , que claramente também diverge, pois não se aproxima de nenhum valor finito.

Passo 6

Encontramos um exemplo onde a série original diverge e a série dos inversos também diverge. Isso mostra que a afirmação não é sempre verdadeira, já que existe pelo menos um caso onde a conclusão não se sustenta.

Resposta

Falso. Um contraexemplo é a série , que diverge, e sua série de inversos também diverge.

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