Biologia Um microbiólogo precisa preparar um meio de cultura para desenvolver determinado tipo de bactéria. A porcentagem de sal contida nesse meio é dada por
em que
e
são as soluções nutrientes a serem misturadas no meio. Para que a bactéria cresça, o meio deve ter
de sal. As soluções nutrientes
,
e
custam, respectivamente, $1, $ 2 e $ 3 por litro. Quanto de cada solução nutriente deve ser utilizado para minimizar o custo do meio de cultura?
em que
Passo 1
O enunciado diz que a porcentagem de sal no meio é dada por
, onde
são os volumes (em litros) das soluções nutrientes que custam, respectivamente, $1, $2 e $3 por litro. Queremos ter
e, ao mesmo tempo, minimizar o custo total
. Para resolver isso, vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos a função objetivo de custo e a restrição da seguinte forma:
Passo 3
O método de Lagrange diz que, no ponto de mínimo sujeito à restrição, temos
Passo 4
Calculamos os gradientes:
Passo 5
Impondo
, obtemos o sistema:
Passo 6
Dividindo as equações de forma a eliminar
, temos:
Passo 7
Logo,
Passo 8
Agora usamos a restrição
:
Passo 9
Substituindo
e
:
Passo 10
Finalmente, obtemos
Resposta
Para minimizar o custo mantendo 13% de sal, use: