Biologia Um microbiólogo precisa preparar um meio de cultura para desenvolver determinado tipo de bactéria. A porcentagem de sal contida nesse meio é dada por
S=12 x y z
em que x, y e z são as soluções nutrientes a serem misturadas no meio. Para que a bactéria cresça, o meio deve ter 13 % de sal. As soluções nutrientes x, y e z custam, respectivamente, $1, $ 2 e $ 3 por litro. Quanto de cada solução nutriente deve ser utilizado para minimizar o custo do meio de cultura?

Passo 1

O enunciado diz que a porcentagem de sal no meio é dada por S=12xyz, onde x,y,z são os volumes (em litros) das soluções nutrientes que custam, respectivamente, $1, $2 e $3 por litro. Queremos ter 1, e, ao mesmo tempo, minimizar o custo total 3 por litro Queremos ter . Para resolver isso, vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função objetivo de custo e a restrição da seguinte forma:
C(x,y,z) = x + 2y + 3z
g(x,y,z) = 12xyz - 13 = 0

Passo 3

O método de Lagrange diz que, no ponto de mínimo sujeito à restrição, temos
nabla C = lambda nabla g

Passo 4

Calculamos os gradientes:
nabla C = l(1,,2,,3r), nabla g = l(12yz,,12xz,,12xyr)

Passo 5

Impondo nabla C = lambda nabla g, obtemos o sistema:
1 = lambda,12yz, 2 = lambda,12xz, 3 = lambda,12xy

Passo 6

Dividindo as equações de forma a eliminar lambda, temos:
21 = 12lambda xz12lambda yz = xy Rightarrow x = 2y,
31 = 12lambda xy12lambda yz = xz Rightarrow x = 3z

Passo 7

Logo,
x = 2y, x = 3z Rightarrow 2y = 3z ;Rightarrow; y = tfrac32 z

Passo 8

Agora usamos a restrição 12xyz=13:
12,(x),(y),(z) = 13

Passo 9

Substituindo x=3z e y=tfrac32 z:
12times(3z)timesl(tfrac32 zr)times z = 13
12times tfrac92,z^3 = 13 Rightarrow 54,z^3 = 13 Rightarrow z^3 = 1354 Rightarrow z = l(tfrac1354r)^1/3

Passo 10

Finalmente, obtemos
x = 3z = 3l(tfrac1354r)^1/3, y = tfrac32 z = tfrac32l(tfrac1354r)^1/3

Resposta

Para minimizar o custo mantendo 13% de sal, use:
x = 3l(tfrac1354r)^1/3, y = tfrac32l(tfrac1354r)^1/3, z = l(tfrac1354r)^1/3

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