Custo Um fabricante possui uma encomenda de 1000 unidades de papel fino que pode ser produzido em dois locais. Assuma que x1 e x2 sejam os números de unidades produzidas nas duas fábricas. Determine quantas unidades devem ser produzidas em cada fábrica de forma a minimizar o custo, se a função de custo é dada por
C=0,25 x1^2+25 x1+0,05 x2^2+12 x2

Passo 1

No enunciado, temos uma encomenda de 1000 unidades de papel fino a ser produzida em duas fábricas, com quantidades x1 e x2. A função de custo é
C = 0,25,x1^2 + 25,x1 + 0,05,x2^2 + 12,x2
Precisamos minimizar esse C sujeito à restrição x1 + x2 = 1000. Vamos usar o método de substituição para reduzir a um problema de uma variável.

Passo 2

Como x1 + x2 = 1000, podemos escrever
x2 = 1000 - x1
Substituindo na função de custo, define-se uma nova função de uma variável:
C(x1) = 0,25,x1^2 + 25,x1 + 0,05(1000 - x1)^2 + 12(1000 - x1)

Passo 3

Para achar o ponto crítico, derivamos C(x1) em relação a x1 e igualamos a zero. A derivada é
C'(x1) = 0,5,x1 + 25 - 0,1(1000 - x1) - 12
Aqui usamos as regras de derivação de polinômios e da composição.

Passo 4

Agora simplificamos a expressão de C'(x1) = 0:
C'(x1) = 0,5x1 + 25 - 100 + 0,1x1 - 12 = 0,6x1 - 87 = 0
Logo,
x1 = 870.6 = 145

Passo 5

Dado x1 = 145, a restrição dá
x2 = 1000 - 145 = 855
Para confirmar que é mínimo, calculamos a segunda derivada:
C''(x1) = 0,6 > 0,
portanto o ponto é de mínimo.

Resposta

As quantidades que minimizam o custo são
x₁ = 145 unidades e x₂ = 855 unidades.

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