Custo Um fabricante possui uma encomenda de 1000 unidades de papel fino que pode ser produzido em dois locais. Assuma que
e
sejam os números de unidades produzidas nas duas fábricas. Determine quantas unidades devem ser produzidas em cada fábrica de forma a minimizar o custo, se a função de custo é dada por
Passo 1
No enunciado, temos uma encomenda de 1000 unidades de papel fino a ser produzida em duas fábricas, com quantidades
e
. A função de custo é
Precisamos minimizar esse
Passo 2
Como
, podemos escrever
Substituindo na função de custo, define-se uma nova função de uma variável:
Passo 3
Para achar o ponto crítico, derivamos
em relação a
e igualamos a zero. A derivada é
Aqui usamos as regras de derivação de polinômios e da composição.
Passo 4
Agora simplificamos a expressão de
:
Logo,
Passo 5
Dado
, a restrição dá
Para confirmar que é mínimo, calculamos a segunda derivada:
portanto o ponto é de mínimo.
Resposta
As quantidades que minimizam o custo são
x₁ = 145 unidades e x₂ = 855 unidades.
x₁ = 145 unidades e x₂ = 855 unidades.