Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a) x y^prime+y=2 x, x>0, y(1)=0 ;

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma EDO linear de primeira ordem
x,y' + y = 2x,
para x>0 com condição inicial y(1)=0. O conteúdo é equações lineares de 1ª ordem e vamos precisar do método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo por x:
y' + 1xy = 2
O coeficiente de y é 1x, então o fator integrante é
mu(x) = expl(integral 1x,dxr) = x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x. Isso torna o lado esquerdo a derivada do produto:
(xy)' = 2x
Agora integramos:
integral (xy)',dx = integral 2x,dx implies x y = x^2 + C

Passo 4

Isolamos y:
y = x + Cx
Usamos a condição inicial y(1)=0:
0 = 1 + C implies C = -1
Logo, a solução particular é
y = x - 1x

Resposta

A solução do problema de valor inicial é y = x - tfrac1x.

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