Construção Um fazendeiro planeja utilizar um muro de pedra e a lateral de um celeiro preexistentes como limite de dois currais retangulares adjacentes. Cercar o perímetro custa por pé. Para separar os currais, uma cerca que custa por pé Para separar os currais, uma cerca que custa por pé dividirá a região. A área total dos dois currais deve ser de 6000 pés quadrados.
(b) Qual é o custo mínimo?

Passo 1

O enunciado pede pra usar dois lados já existentes (o muro de pedra e a lateral do celeiro, que formam dois lados perpendiculares) e cercar os outros dois lados de um grande retângulo, além de uma cerca interna que divide esse retângulo em dois currais. A área total deve ser 6000 ft². O conteúdo é otimização de custo com restrição de área e vamos precisar montar a função custo em função de uma variável e usar derivada pra achar o mínimo.

Passo 2

Vamos chamar de x o comprimento paralelo à lateral do celeiro e de y o comprimento paralelo ao muro de pedra. Como usaremos o muro e o celeiro como dois lados do retângulo, só precisamos cercar o lado oposto a cada um deles (um de comprimento x e outro de comprimento y), ambos a $10/ft, e ainda erguer a cerca divisória para separar os dois currais, que terá comprimento igual a um desses lados e custará $40/ft. Sem perda de generalidade, vamos supor que a divisória seja paralela ao muro de pedra, logo tem comprimento 10/ft, e ainda erguer a cerca divisória para separar os dois currais, que terá comprimento igual a um desses lados e custará .
O custo total y (em dólares) é a soma do custo das duas cercas externas mais o custo da divisória. Assim:
C
e a área total imposta é
C = 10x + 10y + 40y = 10x + 50y,

Passo 3

Substituindo y em C, obtemos uma função de x só:
C(x) = 10x + 50cdot6000x = 10x + 300000x
Para achar o mínimo, derivamos e igualamos a zero:
C'(x) = 10 - 300000x^2 = 0
Logo
10 = 300000x^2 Longrightarrow x^2 = 30000 Longrightarrow x = raiz30000 = 100raiz3
Então
y = 6000x = 6000100raiz3 = 60/raiz3 = 20raiz3

Passo 4

O valor mínimo de custo é obtido substituindo em C(x):
Cmin = 10cdot(100raiz3) + 300000100raiz3 = 1000raiz3 + 1000raiz3 = 2000raiz3

Resposta

O custo mínimo é 2000raiz3 dólares (aproximadamente $3464,1).

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