Construção Um fazendeiro planeja utilizar um muro de pedra e a lateral de um celeiro preexistentes como limite de dois currais retangulares adjacentes. Cercar o perímetro custa
por pé. Para separar os currais, uma cerca que custa
por pé dividirá a região. A área total dos dois currais deve ser de 6000 pés quadrados.
(b) Qual é o custo mínimo?
(b) Qual é o custo mínimo?
Passo 1
O enunciado pede pra usar dois lados já existentes (o muro de pedra e a lateral do celeiro, que formam dois lados perpendiculares) e cercar os outros dois lados de um grande retângulo, além de uma cerca interna que divide esse retângulo em dois currais. A área total deve ser 6000 ft². O conteúdo é otimização de custo com restrição de área e vamos precisar montar a função custo em função de uma variável e usar derivada pra achar o mínimo.
Passo 2
Vamos chamar de
o comprimento paralelo à lateral do celeiro e de
o comprimento paralelo ao muro de pedra. Como usaremos o muro e o celeiro como dois lados do retângulo, só precisamos cercar o lado oposto a cada um deles (um de comprimento
e outro de comprimento
), ambos a $10/ft, e ainda erguer a cerca divisória para separar os dois currais, que terá comprimento igual a um desses lados e custará $40/ft. Sem perda de generalidade, vamos supor que a divisória seja paralela ao muro de pedra, logo tem comprimento
.
O custo total (em dólares) é a soma do custo das duas cercas externas mais o custo da divisória. Assim:
O custo total
e a área total imposta é
Passo 3
Substituindo
em
, obtemos uma função de
só:
Para achar o mínimo, derivamos e igualamos a zero:
Logo
Então
Passo 4
O valor mínimo de custo é obtido substituindo em
:
Resposta
O custo mínimo é
dólares (aproximadamente $3464,1).