1. Biologistas descobriram que a velocidade do sangue arterial é uma função da distância do sangue ao eixo central da artéria. De acordo com a lei de Poiseuille, a velocidade (em centímetros por segundo) do sangue que está a r centímetros do eixo central da artéria é dada por S(r)=C\left(R^{2}-r^{2}\right), onde C=1,76 \times 10^{5} \mathrm{~cm} e \mathrm{R}=1,3 \times 10^{-2} cm é o raio da artéria.
    (a) Calcule a velocidade do sangue no eixo central da artéria.
    (b) Calcule a velocidade do sangue na metade da distância entre a parede da artéria e o eixo central.
    (c) Em que caso a velocidade do sangue será a menor possível?
    (a) No eixo central r=0 :
    S(0)=C\left(R^{2}-0\right)=1.76 * 10^{5}\left(1.3 * 10^{-2}\right)^{2}=29.744 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}
    (b) S\left(\frac{R}{2}\right)=C\left(R^{2}-\frac{R^{2}}{4}\right)=\frac{3}{4} C R^{2}=\frac{3}{4} S(0)=22.308 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}
    (c) S(r)=0 \Rightarrow r=R

Passo 1

O enunciado dá o perfil de velocidade do sangue segundo a lei de Poiseuille
S(r)=C\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr),
onde C=1,76\times10^{5} cm/ s\cdot c m^{-} ^{2} e R=1,3\times10^{-2} cm.
Pede-se:
\bullet (a) S(0), no eixo ( r=0).
\bullet (b) S\bigl(\tfrac R2\bigr), na metade do raio.
\bullet (c) onde S(r) é mínima.

Passo 2

Para r=0 temos
S(0)=C\bigl(R^{2}-0^{2}\bigr)=C\,R^{2}.
Calculando
R^{2}=(1,3\times10^{-2})^{2}=1,69\times10^{-4},
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S(0)=1,76\times10^{5}\times1,69\times10^{-4} =2,9744\times10^{1} =29,744\text{ cm/s}.

Passo 3

Para r=\tfrac R2 temos
S\Bigl(\tfrac R2\Bigr) =C\Bigl(R^{2}-\bigl(\tfrac R2\bigr)^{2}\Bigr) =C\Bigl(R^{2}-\tfrac{R^{2}}{4}\Bigr) =\tfrac{3}{4}\,C\,R^{2} =\tfrac{3}{4}\,S(0).
Portanto
S\Bigl(\tfrac R2\Bigr) =\tfrac{3}{4}\times29,744 =22,308\text{ cm/s}.

Passo 4

A função S(r)=C(R^{2}-r^{2}) decresce conforme r^{2} cresce. No domínio 0\le r\le R, o valor mínimo ocorre quando r é máximo, isto é,
r=R,
e então
S(R)=C\bigl(R^{2}-R^{2}\bigr)=0.

Resposta

(a) 29,744 cm/s
(b) 22,308 cm/s
(c) A menor velocidade ocorre na parede da artéria, isto é, em r=R, onde S(R)=0.

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