1. Define-se o trabalho T realizado por um músculo por T=P x, sendo P o peso ou carga aplicada e x o comprimento da contração . Hill determinou que a energia E envolvida na contração muscular é expressa por E=T+a x=(P+a) x, onde a x representa o calor decorrente da contraçãoA razão \epsilon entre o trabalho e a energia utilizada é definida como eficiência do músculo.
    (a) De acordo com o modelo, mostre que a eficiência \epsilon independe do encurtamento x.
    (b) Mostre que \frac{1}{\epsilon} depende linearmente de a, sendo ainda inversamente proporcional ao peso ou carga aplicada.
    (c) Ache a relação entre a e P para que ocorra uma eficiência de 40 \%.
    (a) \epsilon=\frac{T}{E}=\frac{P x}{(P+a) x}=\frac{P}{P+a}
    (b) \frac{1}{\epsilon}=\frac{P+a}{P}=1+\frac{1}{P} a
Logo \frac{1}{\epsilon} depende linearmente de a e o coeficiente angular é inversamente proporcional ao peso P.
(c) S e \epsilon=0.4=\frac{P}{P+a}
0.4 P+0.4 a=P
0.6 P=0.4 a \Rightarrow P=\frac{2 a}{3}

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo de Hill para contração muscular em que
T = P\,x
é o trabalho realizado,
E = T + a\,x = (P + a)\,x
é a energia total (incluindo calor \,a\,x), e define a eficiência do músculo como
\epsilon = \frac{T}{E}.
Queremos:
  1. Mostrar que \epsilon independe de x.
  2. Mostrar que 1/\epsilon depende linearmente de a e é inversamente proporcional a P.
  3. Encontrar a relação entre a e P para \epsilon=40\%.

Passo 2

Calculemos diretamente a eficiência \epsilon:
\epsilon = \frac{T}{E} = \frac{P\,x}{(P + a)\,x} = \frac{P}{P + a}.
Note que o fator x cancela, de modo que \epsilon não depende de x.

Passo 3

Agora invertamos \epsilon:
\frac{1}{\epsilon} = \frac{P + a}{P} = 1 + \frac{a}{P}.
Isso mostra que 1/\epsilon é uma função afim de a (coeficiente linear 1) e o coeficiente angular \tfrac{1}{P} é inversamente proporcional a P.

Passo 4

Para \epsilon=40\%=0,4, impomos
0,4 = \frac{P}{P + a}.
Multiplicando em cruz:
0,4\,(P + a) = P \;\Longrightarrow\; 0,4\,P + 0,4\,a = P \;\Longrightarrow\; 0,6\,P = 0,4\,a \;\Longrightarrow\; P = \frac{0,4}{0,6}\,a = \frac{2}{3}\,a.

Resposta

(a) \displaystyle \epsilon = \frac{P}{P + a}, que independe de x.
(b) \displaystyle \frac{1}{\epsilon} = 1 + \frac{a}{P}, ou seja, linear em a com coeficiente \tfrac{1}{P}.
(c) Para \epsilon=40\%, obtém-se \displaystyle P = \tfrac{2}{3}\,a.

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