Um biólogo está estudando o crescimento de uma população de bactérias em função do tempo. A quantidade de bactérias
pode ser modelada pela função
, onde
é o tempo em horas. No entanto, devido a um produto químico, a taxa de crescimento das bactérias é
. Qual é a quantidade de bactérias após
horas considerando a presença do produto químico?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Um biólogo está estudando como uma população de bactérias cresce ao longo do tempo. A quantidade de bactérias, representada por
, pode ser modelada pela função
, onde
é o tempo em horas. No entanto, devido a um produto químico, a taxa de crescimento das bactérias é reduzida para
. Nosso objetivo é descobrir quantas bactérias haverá após
horas considerando essa redução na taxa de crescimento.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e como alterar a taxa de crescimento em uma função desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função original sem o produto químico:
. Essa é uma função exponencial que representa um crescimento onde a população dobra a cada hora. O número inicial de bactérias é 100.
Agora, com o produto químico, a taxa de crescimento está sendo modificada para
. Isso significa que, em vez de dobrar a cada hora, o crescimento está sendo influenciado por esse fator que depende do tempo.
Passo 3
Para incorporar essa nova taxa de crescimento na função original, precisamos ajustar a base da exponencial. A taxa de crescimento em uma função exponencial é representada pela base da potência. No caso original, a base é 2, indicando que a população dobra a cada hora.
Com a taxa de crescimento modificada para
, a base da exponencial se torna
. Portanto, a nova função que representa a quantidade de bactérias considerando o produto químico é:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão para facilitar a interpretação. A expressão
pode ser reescrita como
, que é igual a
.
Então, a função fica:
Isso mostra que, devido ao produto químico, o crescimento das bactérias é agora pela raiz quadrada de 2 a cada hora, em vez de dobrar.
Resposta
Após
horas, a quantidade de bactérias considerando a presença do produto químico é dada por: