Um biólogo está estudando o crescimento de uma população de bactérias em função do tempo. A quantidade de bactérias B(t) pode ser modelada pela função B(t)=100 cdot 2^wed>= t, onde t é o tempo em horas. No entanto, devido a um produto químico, a taxa de crescimento das bactérias é 1 / 2 t. Qual é a quantidade de bactérias após t horas considerando a presença do produto químico?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Um biólogo está estudando como uma população de bactérias cresce ao longo do tempo. A quantidade de bactérias, representada por , pode ser modelada pela função , onde é o tempo em horas. No entanto, devido a um produto químico, a taxa de crescimento das bactérias é reduzida para . Nosso objetivo é descobrir quantas bactérias haverá após horas considerando essa redução na taxa de crescimento.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e como alterar a taxa de crescimento em uma função desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função original sem o produto químico: . Essa é uma função exponencial que representa um crescimento onde a população dobra a cada hora. O número inicial de bactérias é 100.
Agora, com o produto químico, a taxa de crescimento está sendo modificada para . Isso significa que, em vez de dobrar a cada hora, o crescimento está sendo influenciado por esse fator que depende do tempo.

Passo 3

Para incorporar essa nova taxa de crescimento na função original, precisamos ajustar a base da exponencial. A taxa de crescimento em uma função exponencial é representada pela base da potência. No caso original, a base é 2, indicando que a população dobra a cada hora.
Com a taxa de crescimento modificada para B(t) = 100 cdot 2^12 cdot t , a base da exponencial se torna . Portanto, a nova função que representa a quantidade de bactérias considerando o produto químico é:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão para facilitar a interpretação. A expressão B(t) = 100 cdot ( raiz2 )^t pode ser reescrita como , que é igual a .
Então, a função fica:
Isso mostra que, devido ao produto químico, o crescimento das bactérias é agora pela raiz quadrada de 2 a cada hora, em vez de dobrar.

Resposta

Após B(t) = 100 cdot 2^12 cdot t ou B(t) = 100 cdot ( raiz2 )^t horas, a quantidade de bactérias considerando a presença do produto químico é dada por:

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