Um bit (0 ou 1) de informação é transmitido por um canal com ruído. Seja p a probabilidade de que seja erradamente recebido. Para melhorar a transmissão uma alternativa é utilizar um decodificador de maioria de dois em três, ou seja, enviar de forma independente 3 vezes a mesma informação registrando como resultado aquela que foi recebida pelo menos duas vezes.
Dado N o total de bits corretamente recebidos em um decodificador de maioria de 2 em 3 , faça o que se pede.
Para que valores de p temos E[N]>1 ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente transmite o mesmo bit três vezes por um canal com probabilidade de erro N = número de bits corretamente recebidos nas três transmissões (cada transmissão erra com probabilidade E[N] > 1 , de forma independente).
Definimos a variável aleatória
úêõ
Queremos achar para quais valores de vale
Pra isso vamos usar:
• A noção de variável indicadora.
• Propriedade da linearidade da esperança.

Passo 2

Vamos representar cada uma das três transmissões por uma variável indicadora:
Xi = 1,&se a (i)-ésima transmissão chegou correta, 0,&se ela errou éã
Como o canal erra com probabilidade P(Xi = 1) = 1 - p Longrightarrow E[Xi] = 1cdot(1-p) + 0cdot p = 1 - p , temos

Passo 3

Note que
N = X1 + X2 + X3,
pois E[N] = E[X1] + E[X2] + E[X3] = (1-p) + (1-p) + (1-p) = 3,(1-p) é exatamente a soma dos “sucessos” das três transmissões.
Pela linearidade da esperança,

Passo 4

Queremos agora resolver a desigualdade
Passo a passo:
E[N] > 1 Long<=ftrightarrow 3,(1-p) > 1

Resposta

boxedp < 23
Ou seja, se a probabilidade de erro do canal for menor que , a gente espera receber, em média, mais de um bit correto nas três transmissões.

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