Um bit (0 ou 1) de informação é transmitido por um canal com ruído. Seja
a probabilidade de que seja erradamente recebido. Para melhorar a transmissão uma alternativa é utilizar um decodificador de maioria de dois em três, ou seja, enviar de forma independente 3 vezes a mesma informação registrando como resultado aquela que foi recebida pelo menos duas vezes.
Dado N o total de bits corretamente recebidos em um decodificador de maioria de 2 em 3 , faça o que se pede.
Para que valores de
temos
?
Dado N o total de bits corretamente recebidos em um decodificador de maioria de 2 em 3 , faça o que se pede.
Para que valores de
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente transmite o mesmo bit três vezes por um canal com probabilidade de erro
(cada transmissão erra com probabilidade
, de forma independente).
Definimos a variável aleatória
Definimos a variável aleatória
Queremos achar para quais valores de
vale
Pra isso vamos usar:
• A noção de variável indicadora.
• Propriedade da linearidade da esperança.
• A noção de variável indicadora.
• Propriedade da linearidade da esperança.
Passo 2
Vamos representar cada uma das três transmissões por uma variável indicadora:
Como o canal erra com probabilidade
, temos
Passo 3
Note que
pois
é exatamente a soma dos “sucessos” das três transmissões.
Pela linearidade da esperança,
Pela linearidade da esperança,
Passo 4
Queremos agora resolver a desigualdade
Passo a passo:
Resposta
Ou seja, se a probabilidade de erro do canal for menor que
, a gente espera receber, em média, mais de um bit correto nas três transmissões.